Studio di funzione
Dominio della funzione
Vuol dire sapere e calcolare in quali punti la funzione non è definita e in quali intervalli di x la funzione esiste ed è definita.
Segno di una funzione
- f(x) < 0
In questo intervallo la funzione è negativa, vuol dire che si trova sotto l'asse delle x. - f(x) = 0
In questi punti la funzione è uguale a zero, tocca l'asse delle x. - f(x) > 0
In questo intervallo la funzione è positiva, vuol dire che si trova sopra l'asse delle x.
Simmetria della funzione rispetto all'asse y
Sono dette funzioni pari.
Una funzione è simmetrica rispetto all'asse y quando:
Una funzione è simmetrica rispetto all'asse y quando:
f(x)= f(-x)
Sostituiamo alla x della funzione (-x), se, dopo le semplificazioni le due funzioni sono uguali, allora vuol dire che la funzione è simmetrica rispetto all'asse y.
Esempi di funzioni pari
Funzioni polinomiali i cui termini hanno solo potenze pari
Funzioni fratte nelle quali nel numeratore e nel denominatore ci sono solo potenze pari
Funzioni date dalla somma di funzioni pari
Funzioni polinomiali i cui termini hanno solo potenze pari
Funzioni fratte nelle quali nel numeratore e nel denominatore ci sono solo potenze pari
Funzioni date dalla somma di funzioni pari
Simmetria rispetto all'origine degli assi
Sono dette funzioni dispari.
L'origine degli assi cartesiani, O (0; 0), è centro di simmetria della funzione.
L'origine degli assi cartesiani, O (0; 0), è centro di simmetria della funzione.
f(-x) = - f(x)
Quando sostituita alla x il valore di -x otteniamo la funzione cambiata di segno, allora la funzione ha centro di simmetria nell'origine degli assi.
Esempi di funzioni dispari:
Intersezione con gli assi
Studio di limiti e asintoti
Calcola i limiti ai bordi del dominio e all’infinito per individuare asintoti verticali, orizzontali o obliqui.
Asintoto verticale
Se il limite della funzione ad una quantità finita da +∞ o −∞, quei valori saranno asintoti verticali.
Se il limite della funzione ad una quantità finita da +∞ o −∞, quei valori saranno asintoti verticali.
Asintoti orizzontali
Se il limite della funzione a infinito ci dà un numero preciso, allora quel numero è asintoto orizzontale
Se il limite della funzione a infinito ci dà un numero preciso, allora quel numero è asintoto orizzontale
Studio della derivata prima
Serve per studiare dove la funzione cresce e dove decresce.
- Risolvi f′(x)=0 → punti critici.
- Fai la tabella del segno di f′ →
- f′>0 → funzione crescente
- f′<0 → funzione decrescente
- f′>0 → funzione crescente
- Cambi di segno → massimi e minimi.
Studio della derivata seconda
Serve per studiare concavità e flessi.
- Risolvi f′′(x)=0 → punti candidati a flesso.
- Tabella del segno di f′′** →
- f′′>0 → concavità verso l’alto
- f′′<0 → concavità verso il basso
- f′′>0 → concavità verso l’alto
- Cambio di segno → flesso.