Poliedri e solidi di rotazione

I POLIEDRI E I SOLIDI DI ROTAZIONE

Caratteristiche generali a tutti i poliedri

Solido → qualunque figura che occupa uno spazio tridimensionale, dotato quindi di un estensione in tre dimensioni diverse e tra loro perpendicolari.
Poliedro → solido la cui superficie esterna è delimitata da poligoni.
Faccia → ciascuno dei poligoni che formano la superficie del poliedro.
Spigolo → sono i lati dei poligoni che costituiscono le facce del poliedro.
Vertice → ciascuno dei punti nei quali convergono le facce, sono così gli estremi di ciascuno spigolo.
Diagonale → qualunque segmento che ha come estremi due vertici non appartenenti alla stessa faccia.

Poliedri regolari

I poliedri (più facce) regolari sono solo 5 e vengono chiamati anche solidi platonici.
Queste le caratteristiche dei solidi platonici:

le loro facce sono poligoni regolari tutti congruenti tra loro;
in ogni vertice converge sempre lo stesso numero di facce.

In ogni poliedro, sia esso concavo o convesso, il numero delle facce, dei vertici e degli spigoli sono in relazione tra loro.
Conoscendo la quantità di due di loro è possibile conoscere il terzo incognito.

La relazione di Eulero dice che:
numero delle facce + numero dei vertici = numero degli spigoli + 2
da cui:
f = s + 2 – v v = s + 2 – f s = f + v – 2

Prendiamo ad esempio il tetraedro rappresentato sopra, esso ha 4 facce, 4 vertici e 6 spigoli.
Vediamo se è rispettata la relazione di Eulero: f + v = s + 2 → 4 + 4 = 6 + 2 → 8 = 8

Prendiamo ad esempio il cubo rappresentato sopra, esso ha 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli.
Vediamo se è rispettata la relazione di Eulero: f + v = s + 2 → 6 + 8 = 12 + 2 → 14 = 14

CARATTERISTICHE DEI PRISMI

Un prisma ha le seguenti caratteristiche:

è un poliedro avente due facce congruenti che giacciono su piani paralleli e i cui lati corrispondenti sono paralleli tra loro (spigolo rosso parallelo allo spigolo rosso; spigolo arancione parallelo allo spigolo arancione; …);
ha due basi → le due facce congruenti che giacciono su piani paralleli;
le facce laterali → sono le facce che collegano gli spigoli di base corrispondenti;
gli spigoli laterali → sono gli spigoli non appartenenti ai poligoni di base. Gli spigoli laterali sono tutti paralleli e congruenti tra loro;
altezza h → è la distanza tra i due piani che contengono i poligoni di base.

Prisma obliquo

Facce laterali → sono parallelogrammi
Altezza del prisma < spigolo laterale

Prisma retto

Facce laterali → sono rettangoli
Altezza del prisma = spigolo laterale

Prisma regolare → lo si dice di un prisma che ha come basi un poligono regolare (inscrivibile e circoscrivibile in una circonferenza, con i lati tra loro congruenti e gli angoli interni congruenti).

Ab → l’area della superficie di base (l’area del poligono che è base del prisma);
Al → l’area della superficie laterale. È data dalla somma delle aree di tutti i poligoni che collegano le due basi del prisma.
At → l’area della superficie totale. È data dalla somma delle aree di tutti i poligoni che compongono la sua superficie, dunque quella laterale e due volte quella di base (essendo le due basi congruenti tra loro).
pb → perimetro di base. Il perimetro di ciascuno dei poligoni che sono basi del prisma.
h → altezza del prisma

I prismi retti

Un prima a base triangolare è un prisma che ha come basi un triangolo.
Un prisma a base quadrangolare è un prisma che ha come basi un quadrato.
Un prisma a base rettangolare è un prisma che ha come basi un rettangolo.

In tutti i prismi retti:

l’area della superficie di base è data dall’area di ciascuno dei poligoni che sono base del prisma.
le facce laterali sono rettangoli aventi tutti la stessa altezza coincidente con l’altezza del prisma.

In tutti i prismi retti (i parallelepipedi retti, i cubi) valgono le seguenti formule:

Parallelepipedo

Un parallelepipedo è un prisma le cui facce sono tutte dei parallelogrammi congruenti due a due e giacenti su piani paralleli.
Gli spigoli sono paralleli e congruenti a gruppi di 4.
Ogni coppia di facce opposte può essere considerata base del parallelepipedo.

Parallelepipedo rettangolo

Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo le cui facce sono tutte dei rettangoli che sono congruenti due a due e giacenti su piani paralleli e ortogonali agli altri.
Ogni coppia di facce opposte può essere considerata base del parallelepipedo.
Gli spigoli sono paralleli e congruenti a gruppi di 4.

É un prisma retto a base rettangolare!

Parallelepipedo rettangolo a base quadrata o prisma retto quadrangolare

È un parallelepipedo rettangolo che ha come basi due quadrati.

Cubo

È un parallelepipedo rettangolo in cui tutti gli spigoli sono tra loro congruenti.
È uno dei solidi platonici, si può inscrivere e circoscrivere ad una sfera.

Piramide

Si chiama piramide quel poliedro che ha come base un poligono qualunque e come superficie laterale tanti triangoli quanti sono i lati che costituiscono il poligono di base e aventi tutti uno stesso vertice in comune (detto apice della piramide).
Apice della piramide → il vertice in comune a tutti i triangoli che compongono la superficie laterale.

Piramidi rette

Una piramide è detta retta quando:

il poligono di base è circoscrivibile a una circonferenza (la circonferenza è inscrivibile nel poligono), esiste una circonferenza che è tangente a tutti i lati del poligono;
l’altezza della piramide ricade nel centro della circonferenza inscritta al poligono.

I poligoni circoscrivibili a una circonferenza sono:

tutti i triangoli;
quei quadrilateri nei quali la somma dei lati opposti è congruente (quadrato, rombo, aquilone);
qualunque poligono regolare (lati congruenti e angoli congruenti);
qualunque poligono nel quale le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un solo punto (detto incentro = centro della circonferenza inscritta al poligono).

Nelle piramidi rette si chiama:

apotema della piramide → l’altezza di ciascuno dei triangoli che formano la superficie laterale;
apotema di base → il raggio della circonferenza inscritta al poligono di base
altezza della piramide → distanza del vertice dal poligono di base.

Piramide a base rettangolare

La piramide a base rettangolare è una piramide molto particolare.
Il rettangolo non è un poligono circoscrivibile ad una circonferenza, pertanto non possiede una singola apotema.
Supponiamo che l’altezza della piramide ricada nel punto di incontro delle due diagonali del rettangolo di base, ci troveremo così a questa situazione:

abbiamo due apotemi di base (ciascuno congruente alla metà delle dimensioni del rettangolo);
abbiamo due apotemi della piramide aventi come estremi l’apice della piramide e rispettivamente i due punti medi delle due dimensioni del rettangolo.

Il cilindro

Il cilindro è un solido che si ottiene dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad un suo lato.

Se la rotazione avviene attorno al lato maggiore, ottengo un cilindro alto e stretto:

il raggio del cerchio di base = il lato minore del rettangolo
l’altezza del cilindro = il lato maggiore del rettangolo

Se la rotazione avviene attorno al lato minore, ottengo un cilindro basso e largo:

il raggio del cerchio di base = il lato maggiore del rettangolo
l’altezza del cilindro = il lato minore del rettangolo

Lo sviluppo di un cilindro è composto da due cerchi e un rettangolo avente come base la lunghezza della circonferenza.

I due cerchi sono le basi del cilindro, il rettangolo è lo sviluppo della sua superficie laterale.

Le formule del cilindro:

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il 10 marzo 2023