Mauitaui e la matematica
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Calcolo MCD e mcm

Calcolo M.C.D. e m.c.m.

1° numero:
2° numero:

3° numero:
(facoltativo)
4° numero:
(facoltativo)



Massimo comune divisore (M.C.D.):

Minimo comune multiplo (m.c.m.):

Attenzione: le caselle vanno riempite nell'ordine dato: 1°, 2°, 3°, 4°, altrimenti i risultati potrebbero essere sbagliati!

Cosa vuol dire che due numeri sono primi fra loro?

Due o più numeri si dicono primi fra loro quando non appartengono contemporaneamente a nessuna tabellina, esclusa quella dell'1.
Oppure si può dire che due o più numeri sono primi fra loro se non hanno nessun divisore in comune, escluso 1.
Se i numeri sono primi fra loro: 
  • il mcm è il prodotto dei due (cioè basta moltiplicarli tra loro)
  • il MCD è 1.

MCD
Massimo
 Comune Divisore

Rappresenta 
il numero più grande numero che divide contemporaneamente due o più numeri.
In "matematichese" si definisce come:
il più grande divisore comune a due o più numeri. 
Il MCD tra due o più numeri è uguale a 1 quando:
- il più grande tra tutti è un numero primo
  MCD (25, 32 e 97) = 1 perché 97 è un numero primo;d
Foto
- quando i numeri non hanno nessun divisore comune, escluso l'1
  MCD (14, 16, 27) = 1 perché 14 = 2 x 7
                              16 = 2 x 2 x 2 x 2
                              27 = 3 x 3 x 3
  non hanno un numero primo che faccia parte contemporaneamente delle tre
​  scomposizioni;
Foto
​- quando sono numeri consecutivi (15 e 16 oppure 20118 e 20119)
  MCD (24, 25) = 1 perché 24 = 2 x 2 x 2 x 3
                          25 = 5 x 5
​  non hanno nessun divisore in comune escluso l'1;
Foto
- quando sono numeri consecutivi dispari (25 e 27 oppure 105 e 107)
  
MCD (33, 35) = 1 perché 33 = 3 x 11
                          35 = 5 x 7
  non hanno nessun divisore in comune escluso l'1.
Foto
È importante ricordare che il MCD:
- non è mai più grande della differenza dei due;
  MCD (14, 16) = 2    16 - 14 = 2    la differenza è uguale al MCD;
  MCD (14, 18) = 2    18 - 14 = 4    la differenza è maggiore del MCD;
- non è mai più grande del numero più piccolo presente;
​- è uguale a 2 quando i numeri sono consecutivi pari (26 e 28, 154 e 156).

Calcolare il MCD di due o più numeri con le scomposizioni in fattori primi

Il MCD si trova prendendo ogni fattore comune a tutti i numeri, preso una sola volta abbinando il più piccolo esponente presente.
Vediamo passo a passo come si opera:
  1. fare la scomposizione in fattori primi;
  2. scrivere ciascun numero come prodotto di potenze le cui basi sono numeri primi;
  3. prendere ogni base comune a tutti, solo una volta;
  4. mettere a ciascuna base l'esponente più piccolo presente;
  5. risolvere le singole potenze, poi moltiplicare i fattori.
Foto

Calcolo del MCD tramite il metodo delle sottrazioni successive

Un altro metodo, sicuramente meno conosciuto, e che non richiede la conoscenza delle tabelline, è quello delle sottrazioni successive.
Per usare questo metodo si opera in questo modo:
  1. Calcolo la differenza tra i due numeri dei quali vorrei il MCD;
  2. escludo il più grande, tolgo il più piccolo al medio; 
  3. continuo in questo modo fino a quando i due numeri più piccoli non sono uguali.
MCD (45, 18) =
Calcolo la differenza tra i due numeri
Faccio la differenze tra i due numeri minori
Continuo a calcolare la differenza fino a quando due numeri minori non sono uguali 
45 - 18 = 27
27 - ​18 = 9
​
18 - 9 = 9
Il Massimo Comune Divisore tra 45 e 18 è = 9

MCD con l'algoritmo di Euclide

L'uso di questo metodo non richiede scomposizioni o conoscenze di divisibilità. 
MCD (168, 63) =
Quante volte il minore sta nel maggiore?
168:63=2 R=42
Prendo in considerazione i due numeri minori, 63 e 42, quante volte il 42 sta nel 63?
63:42=1 R=21
Ripeto il meccanismo fino a quando il resto è zero.
Il 21 è il Massimo Comune Divisore tra 168 e 63
42:21=2 R=0

Calcolo del MCD di due o più numeri utilizzando un'unica tabella

MCD (450, 660, 720) =
Scrivo i numeri iniziali
#1
#2
#3
Divisori comuni a tutti
Posso dividere tutti per 10 perché tutti i numeri finiscono con uno zero
450
660
720
10
Divido 45, 66 e 72 per 3
45
66
72
3
Poiché non capisco se posso dividerli per una stessa quantità, li scompongo in fattori primi
15
22
24
Nessun fattore comune a tutti
15, 22 e 24 non hanno un divisore comune a tutti.
3·5
2·11
3·2·2·2
MCD=10·3=30
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