Calcolo MCD e mcm

Calcolo M.C.D. e m.c.m.

Attenzione: le caselle vanno riempite nell'ordine dato: 1°, 2°, 3°, 4°, altrimenti i risultati potrebbero essere sbagliati!

Cosa vuol dire che due numeri sono primi fra loro?

Due o più numeri si dicono primi fra loro quando non appartengono contemporaneamente a nessuna tabellina, esclusa quella dell'1.
Oppure si può dire che due o più numeri sono primi fra loro se non hanno nessun divisore in comune, escluso 1.

Se i numeri sono primi fra loro:

il mcm è il prodotto dei due (cioè basta moltiplicarli tra loro)
il MCD è 1.

MCD
Massimo Comune Divisore

Rappresenta
il numero più grande numero che divide contemporaneamente due o più numeri.
In "matematichese" si definisce come:
il più grande divisore comune a due o più numeri.

Il MCD tra due o più numeri è uguale a 1 quando:

- il più grande tra tutti è un numero primo
MCD (25, 32 e 97) = 1 perché 97 è un numero primo;d

- quando i numeri non hanno nessun divisore comune, escluso l'1
MCD (14, 16, 27) = 1 perché 14 = 2 x 7
16 = 2 x 2 x 2 x 2
27 = 3 x 3 x 3
non hanno un numero primo che faccia parte contemporaneamente delle tre
scomposizioni;

- quando sono numeri consecutivi (15 e 16 oppure 20118 e 20119)
MCD (24, 25) = 1 perché 24 = 2 x 2 x 2 x 3
25 = 5 x 5
non hanno nessun divisore in comune escluso l'1;

- quando sono numeri consecutivi dispari (25 e 27 oppure 105 e 107)
MCD (33, 35) = 1 perché 33 = 3 x 11
35 = 5 x 7
non hanno nessun divisore in comune escluso l'1.

È importante ricordare che il MCD:
- non è mai più grande della differenza dei due;
MCD (14, 16) = 2 16 - 14 = 2 la differenza è uguale al MCD;
MCD (14, 18) = 2 18 - 14 = 4 la differenza è maggiore del MCD;
- non è mai più grande del numero più piccolo presente;
- è uguale a 2 quando i numeri sono consecutivi pari (26 e 28, 154 e 156).

Calcolare il MCD di due o più numeri con le scomposizioni in fattori primi

Il MCD si trova prendendo ogni fattore comune a tutti i numeri, preso una sola volta abbinando il più piccolo esponente presente.

Vediamo passo a passo come si opera:

fare la scomposizione in fattori primi;
scrivere ciascun numero come prodotto di potenze le cui basi sono numeri primi;
prendere ogni base comune a tutti, solo una volta;
mettere a ciascuna base l'esponente più piccolo presente;
risolvere le singole potenze, poi moltiplicare i fattori.

Calcolo del MCD tramite il metodo delle sottrazioni successive

Un altro metodo, sicuramente meno conosciuto, e che non richiede la conoscenza delle tabelline, è quello delle sottrazioni successive.

Per usare questo metodo si opera in questo modo:

Calcolo la differenza tra i due numeri dei quali vorrei il MCD;
escludo il più grande, tolgo il più piccolo al medio;
continuo in questo modo fino a quando i due numeri più piccoli non sono uguali.

MCD (45, 18) =

Calcolo la differenza tra i due numeri
Faccio la differenze tra i due numeri minori
Continuo a calcolare la differenza fino a quando due numeri minori non sono uguali

45 - 18 = 27
27 - 18 = 9
18 - 9 = 9

Il Massimo Comune Divisore tra 45 e 18 è = 9

MCD con l'algoritmo di Euclide

L'uso di questo metodo non richiede scomposizioni o conoscenze di divisibilità.

MCD (168, 63) =

Quante volte il minore sta nel maggiore?

168:63=2 R=42

Prendo in considerazione i due numeri minori, 63 e 42, quante volte il 42 sta nel 63?

63:42=1 R=21

Ripeto il meccanismo fino a quando il resto è zero.
Il 21 è il Massimo Comune Divisore tra 168 e 63

42:21=2 R=0

Calcolo del MCD di due o più numeri utilizzando un'unica tabella

MCD (450, 660, 720) =

Scrivo i numeri iniziali	#1	#2	#3	Divisori comuni a tutti
Posso dividere tutti per 10 perché tutti i numeri finiscono con uno zero	450	660	720	10
Divido 45, 66 e 72 per 3	45	66	72	3
Poiché non capisco se posso dividerli per una stessa quantità, li scompongo in fattori primi	15	22	24	Nessun fattore comune a tutti
15, 22 e 24 non hanno un divisore comune a tutti.	3·5	2·11	3·2·2·2	MCD=10·3=30