Mauitaui e la matematica
  • Home
    • Le parole della matematica
    • I lavori di scienze dei miei ragazzi
    • Materiali da stampare
    • Altro >
      • Triangolo di Tartaglia
      • Giochi matematici >
        • Il gioco dei tre numeri
        • Giochi d'autunno
    • Blog >
      • Inventa una storia
      • Libri
      • Film
    • Software & Apps
  • Aritmetica
    • Gli insiemi >
      • Caratteristiche e operazioni
      • I simboli negli insiemi
    • Il numero e i sistemi di numerazione >
      • Il numero e le successioni numeriche
      • Numerazione decimale
      • Numerazione romana
      • Altri sistemi di numerazione
    • Simboli della matematica
    • Le 4 operazioni >
      • L'addizione
      • La sottrazione
      • La Moltiplicazione
      • La Divisione
      • Espressioni con le 4 operazioni
      • I problemi con le 4 operazioni
    • Le potenze >
      • Le proprietà delle potenze e le operazioni con esse
      • Quadrati dei numeri naturali
    • Divisibilità, MCD e mcm >
      • La divisibilità
      • Criteri di divisibilità
      • Scomposizione in fattori primi
      • Massimo Comune Divisore
      • minimo comune multiplo
    • Le frazioni >
      • Le frazioni, caratteristiche
      • Confrontare le frazioni
      • Operazioni con le frazioni >
        • Esercizi
        • Problemi con le frazioni
    • I numeri razionali e le loro frazioni generatrici
    • L'operazione di radice >
      • Radici e proprietà
      • La radice quadrata e la radice cubica
      • Uso delle tavole numeriche
    • Rapporti, proporzioni e loro applicazioni >
      • I rapporti
      • Le proporzioni
      • Cosa sono e come si calcolano
  • Geometria
    • Tangram
    • La misura >
      • La misura e le unità di misura
      • Le equivalenze nel S.I.
      • Le unità di misura non nel S.I.
    • Gli enti primitivi e fondamentali
    • I luoghi geometrici
    • Il piano cartesiano - Punti e segmenti
    • Problemi e linguaggi >
      • Dalle parole alla matematica
      • Trova la misura di due segmenti
    • Gli angoli >
      • Definizione e classificazione
      • Operazioni con gli angoli
    • I poligoni >
      • Triangoli >
        • Caratteristiche generali
        • Classificazione in base ai lati e agli angoli
        • Criteri di congruenza
        • Punti notevoli
      • I quadrilateri
      • Perimetro e area dei poligoni >
        • Perimetro e area triangoli
        • Perimetro e area dei quadrilateri
      • Teorema di Pitagora >
        • Enunciato del Teorema di Pitagora
        • Applicazioni del Teorema di Pitagora >
          • Problemi Teorema di Pitagora
      • Euclide
    • La circonferenza e il cerchio >
      • Caratteristiche e misura
      • Circonferenza e retta
      • Posizione tra due circonferenze
      • Problemi visivi sulla circonferenza e cerchio
    • Geometria solida >
      • Caratteristiche dei solidi
      • Poliedri e solidi di rotazione
  • SUPERIORI
    • Algebra >
      • I numeri relativi
      • Monomi
      • Polinomi >
        • Caratteristiche dei polinomi
        • Operazioni coi polinomi
        • I prodotti notevoli >
          • Giustificazione geometrica
        • Divisione di un polinomio per un polinomio
      • Il calcolo letterale >
        • Scomposizione di un polinomio
        • MCD e mcm tra polinomi
      • Frazioni algebriche
      • Sistemi di equazioni lineari
      • I radicali >
        • Radici, radicali e proprietà
        • Operazioni coi raqdicali
        • Razionalizzazione
        • Altri esercizi coi radicali
      • I logaritmi >
        • Proprietà dei logaritmi
    • Equazioni >
      • Equazioni primo grado
      • Equazioni 2° grado >
        • Caratteristiche e risoluzione di un'eq. 2° grado
        • Equazioni parametriche di II grado
        • Esercizi svolti
    • Disequazioni >
      • Le disequazioni e le sue soluzioni
      • Equazioni e disequazioni di 2 grado
    • Geometria euclidea >
      • Enti geometrici fondamentali
      • Circonferenza e cerchio
    • Geom. analitica >
      • Il piano cartesiano
      • Le isometrie nel piano cartesiano
      • La retta e la sua equazione >
        • Equazione della retta passante per due punti
      • I luoghi geometrici
      • Parabola >
        • Parabola caratteristiche
        • Esercizi svolti
      • La circonferenza
      • L'ellisse
      • L'iperbole
    • Goniometria e trigonometria >
      • Goniometria
      • Grafici funzioni goniometriche
      • Angoli associati
      • Operazioni goniometriche
    • Analisi matematica >
      • Studio funzioni
      • I limiti >
        • Gli asintoti
    • Insiemistica, statistica... >
      • Gli insiemi >
        • Caratteristiche e operazioni
      • Statistica
    • La misura >
      • Notazione scientifica e ordine di grandezza
      • Le misure nel S.I.
      • L'incertezza
    • FISICA >
      • Corpi su un piano inclinato
      • Forze parallele
      • Momento di una forza e le leve
    • Scienze >
      • Moto di rivoluzione e di rotazione terrestre
      • Biologia >
        • La cellula
        • L'apparato respiratorio
      • Chimica
      • Video Scienze

MCD
Massimo Comune Divisore
Il più grande numero che divide senza dare resto tutti i numeri

In "matematichese" si definisce come:
il più grande divisore comune a due o più numeri. 
Usa la tavola dei divisori, segui l’esempio e poi prova tu.
Trova i divisori e scrivili dentro delle parentesi graffe.​
Foto
MCD (45; 30)
Divisori di 45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
Divisori di 30 = {1, 3, 5, 15, 30}
Foto
Nell’intersezione (parte in rosa) metti i divisori comuni a 45 e 30 = {1, 3, 5, 15}

Il MCD è il divisore comune più grande.
MCD (45; 30) = 15

È importante ricordare che il MCD:
  • non è mai più grande della differenza dei due; 
    MCD (14, 16) = 2    16 - 14 = 2    la differenza è uguale al MCD; 
    MCD (14, 18) = 2    18 - 14 = 4    la differenza è maggiore del MCD;
  • non è mai più grande più piccolo dei numeri presenti;
    MCD (158; 14; 2800) è sicuramente minore o uguale a 14.
  • Se due numeri sono uno multiplo dell’altro, il MCD è il più piccolo dei due
    MCD (16; 48) = 16
  • ​è uguale a 2 quando i numeri sono consecutivi pari 
    MCD (26; 28) = 2
    MCD (1854; 1856) = 2.

Il MCD tra due o più numeri è uguale a 1 quando:
  • il più grande tra tutti è un numero primo
    MCD (25, 32 e 97) = 1 perché 97 è un numero primo
    infatti
    D (25) = 1, 5, 25
    D (32) = 1, 2, 4, 8, 16, 32
    D (97) = 1, 97
    ​
  • i numeri sono primi tra loro (non hanno nessun divisore in comune escluso l'1)
    MCD (14, 16, 27) = 1
    infatti
    D (14) = 1, 2, 7, 14
    D (16) = 1, 2, 4, 8, 16
    D (27) = 1, 3, 9, 27
    non esiste nessun divisore comune contemporaneamente ai tre numeri.
  • i numeri sono consecutivi   
    MCD (25; 26) = 1
    infatti
    D (25) = 1, 5, 25
    D (26) = 1, 2, 13, 26
  • quando i numeri sono consecutivi dispari 
    MCD (33, 35) = 1
    infatti

    D (33) = 1, 3, 11, 33
    D (35) = 1, 5, 7, 35

Calcolare il MCD di due o più numeri
​con le scomposizioni in fattori primi

Il MCD si trova prendendo ogni fattore comune a tutti i numeri, preso una sola volta abbinando il più piccolo esponente presente.
Vediamo passo a passo come si opera:
  1. fare la scomposizione in fattori primi;
  2. scrivere ciascun numero come prodotto di potenze le cui basi sono numeri primi;
  3. prendere ogni base comune a tutti, solo una volta;
  4. mettere a ciascuna base l'esponente più piccolo presente;
  5. risolvere le singole potenze, poi moltiplicare i fattori.
Foto

Calcolo del MCD tramite il metodo delle sottrazioni successive

Un altro metodo, sicuramente meno conosciuto, e che non richiede la conoscenza delle tabelline, è quello delle sottrazioni successive.
Per usare questo metodo si opera in questo modo:
  1. Calcolo la differenza tra i due numeri dei quali vorrei il MCD;
  2. escludo il più grande, tolgo il più piccolo al medio; 
  3. continuo in questo modo fino a quando i due numeri più piccoli non sono uguali.
MCD (45, 18) =
Calcolo la differenza tra i due numeri
Faccio la differenze tra i due numeri minori
Continuo a calcolare la differenza fino a quando due numeri minori non sono uguali 
45 - 18 = 27
27 - ​18 = 9
​
18 - 9 = 9
Il Massimo Comune Divisore tra 45 e 18 è = 9

MCD con l'algoritmo di Euclide

L'uso di questo metodo non richiede scomposizioni o conoscenze di divisibilità. 
MCD (168, 63) =
Quante volte il minore sta nel maggiore?
168 : 63 = 2   R = 42
Prendo in considerazione i due numeri minori, 63 e 42, quante volte il 42 sta nel 63?
63 : 42 = 1     R = 21
Ripeto il meccanismo fino a quando il resto è zero.
Il 21 è il Massimo Comune Divisore tra 168 e 63
42 : 21 = 2     R = 0

Calcolo del MCD di due o più numeri utilizzando un'unica tabella

Con questo metodo, può essere scelto come divisore anche un numero che non è primo, la cosa importante è che sia comune a TUTTI i numeri. 
MCD (450, 660, 720) =
Scrivo i numeri iniziali
#1
#2
#3
Divisori comuni a tutti
Posso dividere tutti per 10 perché tutti i numeri finiscono con uno zero
450
660
720
10
Divido 45, 66 e 72 per 3
45
66
72
3
Poiché non capisco se posso dividerli per una stessa quantità, li scompongo in fattori primi
15
22
24
Nessun fattore comune a tutti
15, 22 e 24 non hanno un divisore comune a tutti.
3·5
2·11
3·2·2·2
MCD=10·3=30

Il Massimo Comune Divisore nei problemi

Ogni volta che dovrai distribuire delle quantità di modo da formare gruppi che hanno la stessa quantità di ciascun tipo di oggetto devi calcolare il MCD tra queste quantità.
In questo caso il MCD rappresenta la più grande quantità dei gruppi (vassoi, vasi, sacchetti, ..) che puoi formare.
Comporre vassoi con la stessa quantità di pizzette, panzerotti e pasticcini.
Comporre vasi di fiori aventi ciascuno la stessa quantità di rose, margherite e tulipani

In tutti questi casi devi calcolare il MCD tra le quantità totali di ciascuno.

Il MCD rappresenta la quantità totale dei gruppi.
Il primo numero : MCD → la quantità del primo oggetto in ciascun gruppo
Il secondo numero : MCD → la quantità del secondo oggetto in ciascun gruppo
​Il terzo numero : 
MCD → la quantità del terzo oggetto in ciascun gruppo
​...

Il Massimo Comune Divisore e il minimo comune multiplo

Verifica se i tuoi calcoli sono giusti, inserisci i numeri e poi premi il pulsante calcola.
Calcolo MCD e mcm

Calcolo M.C.D. e m.c.m.

1° numero:
2° numero:

3° numero:
(facoltativo)
4° numero:
(facoltativo)



Massimo comune divisore (M.C.D.):

Minimo comune multiplo (m.c.m.):

Attenzione: le caselle vanno riempite nell'ordine dato: 1°, 2°, 3°, 4°, altrimenti i risultati potrebbero essere sbagliati!

Contatore inserito in data 21 aprile 2021

Mauitaui e la matematica - www.mauitaui.org - Prof.ssa Marisa Piras - Cagliari - Italy

Chi sono
Le mie pubblicazioni
Contatore inserito il 28 febbraio 2022
Sito redatto e gestito da Marisa Piras. 
Proudly powered by Weebly
  • Home
    • Le parole della matematica
    • I lavori di scienze dei miei ragazzi
    • Materiali da stampare
    • Altro >
      • Triangolo di Tartaglia
      • Giochi matematici >
        • Il gioco dei tre numeri
        • Giochi d'autunno
    • Blog >
      • Inventa una storia
      • Libri
      • Film
    • Software & Apps
  • Aritmetica
    • Gli insiemi >
      • Caratteristiche e operazioni
      • I simboli negli insiemi
    • Il numero e i sistemi di numerazione >
      • Il numero e le successioni numeriche
      • Numerazione decimale
      • Numerazione romana
      • Altri sistemi di numerazione
    • Simboli della matematica
    • Le 4 operazioni >
      • L'addizione
      • La sottrazione
      • La Moltiplicazione
      • La Divisione
      • Espressioni con le 4 operazioni
      • I problemi con le 4 operazioni
    • Le potenze >
      • Le proprietà delle potenze e le operazioni con esse
      • Quadrati dei numeri naturali
    • Divisibilità, MCD e mcm >
      • La divisibilità
      • Criteri di divisibilità
      • Scomposizione in fattori primi
      • Massimo Comune Divisore
      • minimo comune multiplo
    • Le frazioni >
      • Le frazioni, caratteristiche
      • Confrontare le frazioni
      • Operazioni con le frazioni >
        • Esercizi
        • Problemi con le frazioni
    • I numeri razionali e le loro frazioni generatrici
    • L'operazione di radice >
      • Radici e proprietà
      • La radice quadrata e la radice cubica
      • Uso delle tavole numeriche
    • Rapporti, proporzioni e loro applicazioni >
      • I rapporti
      • Le proporzioni
      • Cosa sono e come si calcolano
  • Geometria
    • Tangram
    • La misura >
      • La misura e le unità di misura
      • Le equivalenze nel S.I.
      • Le unità di misura non nel S.I.
    • Gli enti primitivi e fondamentali
    • I luoghi geometrici
    • Il piano cartesiano - Punti e segmenti
    • Problemi e linguaggi >
      • Dalle parole alla matematica
      • Trova la misura di due segmenti
    • Gli angoli >
      • Definizione e classificazione
      • Operazioni con gli angoli
    • I poligoni >
      • Triangoli >
        • Caratteristiche generali
        • Classificazione in base ai lati e agli angoli
        • Criteri di congruenza
        • Punti notevoli
      • I quadrilateri
      • Perimetro e area dei poligoni >
        • Perimetro e area triangoli
        • Perimetro e area dei quadrilateri
      • Teorema di Pitagora >
        • Enunciato del Teorema di Pitagora
        • Applicazioni del Teorema di Pitagora >
          • Problemi Teorema di Pitagora
      • Euclide
    • La circonferenza e il cerchio >
      • Caratteristiche e misura
      • Circonferenza e retta
      • Posizione tra due circonferenze
      • Problemi visivi sulla circonferenza e cerchio
    • Geometria solida >
      • Caratteristiche dei solidi
      • Poliedri e solidi di rotazione
  • SUPERIORI
    • Algebra >
      • I numeri relativi
      • Monomi
      • Polinomi >
        • Caratteristiche dei polinomi
        • Operazioni coi polinomi
        • I prodotti notevoli >
          • Giustificazione geometrica
        • Divisione di un polinomio per un polinomio
      • Il calcolo letterale >
        • Scomposizione di un polinomio
        • MCD e mcm tra polinomi
      • Frazioni algebriche
      • Sistemi di equazioni lineari
      • I radicali >
        • Radici, radicali e proprietà
        • Operazioni coi raqdicali
        • Razionalizzazione
        • Altri esercizi coi radicali
      • I logaritmi >
        • Proprietà dei logaritmi
    • Equazioni >
      • Equazioni primo grado
      • Equazioni 2° grado >
        • Caratteristiche e risoluzione di un'eq. 2° grado
        • Equazioni parametriche di II grado
        • Esercizi svolti
    • Disequazioni >
      • Le disequazioni e le sue soluzioni
      • Equazioni e disequazioni di 2 grado
    • Geometria euclidea >
      • Enti geometrici fondamentali
      • Circonferenza e cerchio
    • Geom. analitica >
      • Il piano cartesiano
      • Le isometrie nel piano cartesiano
      • La retta e la sua equazione >
        • Equazione della retta passante per due punti
      • I luoghi geometrici
      • Parabola >
        • Parabola caratteristiche
        • Esercizi svolti
      • La circonferenza
      • L'ellisse
      • L'iperbole
    • Goniometria e trigonometria >
      • Goniometria
      • Grafici funzioni goniometriche
      • Angoli associati
      • Operazioni goniometriche
    • Analisi matematica >
      • Studio funzioni
      • I limiti >
        • Gli asintoti
    • Insiemistica, statistica... >
      • Gli insiemi >
        • Caratteristiche e operazioni
      • Statistica
    • La misura >
      • Notazione scientifica e ordine di grandezza
      • Le misure nel S.I.
      • L'incertezza
    • FISICA >
      • Corpi su un piano inclinato
      • Forze parallele
      • Momento di una forza e le leve
    • Scienze >
      • Moto di rivoluzione e di rotazione terrestre
      • Biologia >
        • La cellula
        • L'apparato respiratorio
      • Chimica
      • Video Scienze