Calcolo M.C.D. e m.c.m.

Attenzione: le caselle vanno riempite nell'ordine dato: 1°, 2°, 3°, 4°, altrimenti i risultati potrebbero essere sbagliati!

Prima di iniziare: cosa vuol dire che due numeri sono primi fra loro?

Due o più numeri si dicono primi fra loro quando non appartengono contemporaneamente a nessuna tabellina, esclusa quella dell'1.
Oppure si può dire che due o più numeri sono primi fra loro se non hanno nessun divisore in comune, escluso 1.

Se i numeri sono primi fra loro: 

• il mcm è il prodotto dei due (cioè basta moltiplicarli tra loro)
• il MCD è 1.

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Massimo Comune Divisore (MCD)

Il Massimo Comune Divisore (MCD) è il numero più grande che divide contemporaneamente due o più numeri.
In matematichese si definisce come: il più grande divisore comune a due o più numeri. 

Il MCD tra due o più numeri è uguale a 1 quando:

- il più grande tra tutti è un numero primo
  MCD (25, 32 e 97) = 1 perché 97 è un numero primo;

- quando i numeri non hanno nessun divisore comune, escluso l'1
  MCD (14, 16, 27) = 1 perché 14 = 2 x 7
                              16 = 2 x 2 x 2 x 2
                              27 = 3 x 3 x 3
  non hanno un numero primo che faccia parte contemporaneamente delle tre
​  scomposizioni;

​- quando sono numeri consecutivi (15 e 16 oppure 20118 e 20119)
  MCD (24, 25) = 1 perché 24 = 2 x 2 x 2 x 3
                          25 = 5 x 5
​  non hanno nessun divisore in comune escluso l'1;

- quando sono numeri consecutivi dispari (25 e 27 oppure 105 e 107)
  MCD (33, 35) = 1 perché 33 = 3 x 11
                          35 = 5 x 7
  non hanno nessun divisore in comune escluso l'1.

È importante ricordare che il MCD:
- non è mai più grande della differenza dei due;
  MCD (14, 16) = 2    16 - 14 = 2    la differenza è uguale al MCD;
  MCD (14, 18) = 2    18 - 14 = 4    la differenza è maggiore del MCD;
- non è mai più grande del numero più piccolo presente;
​- è uguale a 2 quando i numeri sono consecutivi pari (26 e 28, 154 e 156).

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Calcolare il MCD di due o più numeri con le scomposizioni in fattori primi

Il MCD si trova prendendo ogni fattore comune a tutti i numeri, preso una sola volta abbinando il più piccolo esponente presente.

Vediamo passo a passo come si opera:

1. fare la scomposizione in fattori primi;
2. scrivere ciascun numero come prodotto di potenze le cui basi sono fattori primi;
3. prendere ogni base comune a tutti, solo una volta;
4. mettere a ciascuna base l'esponente più piccolo presente;
5. risolvere le singole potenze e moltiplicare i fattori.

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Calcolo del MCD tramite il metodo delle sottrazioni successive

Un altro metodo, sicuramente meno conosciuto, e che non richiede la conoscenza delle tabelline, è quello delle sottrazioni successive.

Per usare questo metodo si opera in questo modo:

1. tolgo al più grande il più piccolo;
2. escludo il più grande, tolgo il più piccolo al medio; 
3. continuo in questo modo fino a quando i due numeri più piccoli non sono uguali.

MCD (45, 18) =

Li sottraggo tra loro
Tolgo al ​medio il più piccolo
​Tolgo al ​medio il più piccolo

45 - 18 = 27
27 - ​18 = 9
​18 - 9 = 9

Il medio è uguale al più piccolo, allora MCD (45, 18) = 9

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MCD con l'algoritmo di Euclide

L'uso di questo metodo non richiede scomposizioni o conoscenze di divisibilità. 

MCD (A, B) = Rispondo alla domanda:
Quante volte il più piccolo sta nel più grande?
Uso poi il medio e il più piccolo e mi ripropongo la stessa domanda: quante volte il più piccolo sta nel più grande?
Continuo fino a quando il resto non sarà uguale a 0.

MCD (168, 63) = 
​168 = 63 (2) + 42
63 = 42 (1) + 21
42 = 21 (2) + 0
21 è il MCD

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Calcolo del MCD di due o più numeri utilizzando un'unica tabella

MCD (450, 660, 720) = 10 x 3 = 30

Scrivo i numeri iniziali	450	660	720	Divisori comuni a tutti
Divido tutti i numeri per 10	45	66	72	10
Divido tutti i numeri per 3	15	22	24	3
Riscrivo i numeri come prodotto di numeri primi	3·5	2·11	2·2·2	Nessun fattore comune a tutti

In rosso ho scritto i divisori comuni a tutti, pertanto il MCD = 10·3 = 30