Applicazioni del Teorema di Pitagora

DOVE PUÒ ESSERE APPLICATO IL TEOREMA DI PITAGORA?

Alcune volte i problemi di geometria ci richiedono di trovare la misura di un lato o di un elemento interno alla figura geometrica (come l'altezza relativa ad un lato, una diagonale, ...) e le formule inverse dell'area e del perimetro non riescono a venirci incontro.

Ma, se riusciamo ad individuare un triangolo rettangolo e due dei suoi lati sono noti, allora possiamo ricavare la misura del lato mancante utilizzando il teorema di Pitagora.

Ricorda:

In ciascuna figura ho messo in evidenza, colorandoli di giallo, i diversi triangoli rettangoli che possiamo disegnare e le rispettive formule per poterne calcolare la misura dei lati.

Rettangolo

Il rettangolo ha gli angoli interni tutti di 90°, per cui, ciascuna diagonale lo divide in due triangoli rettangoli.
Nel rettangolo:

l'ipotenusa è la diagonale;
i cateti sono i lati (base e altezza).

Quadrato
Triangolo rettangolo isoscele

Anche il quadrato, come il rettangolo, ha gli angoli interni uguali a 90°: ciascuna diagonale divide così il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli.
Quando hai di fronte a te un triangolo rettangolo isoscele ricorda che esso ha due angoli di 45°.
Se un triangolo rettangolo ha gli angoli acuti congruenti a 45° si tratta metà quadrato.

Per conoscere la misura della diagonale applichiamo il teorema di Pitagora, mentre per conoscere la misura del lato, a partire dalla misura della diagonale, possiamo invertire la formula usata per trovare la diagonale.

Triangolo scaleno

L'altezza in un triangolo è quel segmento che, condotto da un vertice, raggiunge il lato opposto, o il suo prolungamento, perpendicolarmente (cioè formando angoli retti).
Se il triangolo è acutangolo, ciascuna altezza divide il triangolo stesso in due triangoli rettangoli, e l'altezza divide così il lato opposto, che diventa base, in due parti: ciascuna parte è la proiezione degli altri due lati.
Le proiezioni dei lati obliqui sulla base nel triangolo sotto corrispondono ai segmenti e e f.
I triangoli rettangoli sono così formati:

l'ipotenusa è il lato obliquo che sto considerando;
il primo cateto è la proiezione dello stesso lato obliquo sulla base;
il secondo cateto è l'altezza relativa alla base.

Triangolo isoscele

Ha due lati congruenti chiamati lati obliqui.
Il lato diverso viene chiamato base.
L’altezza relativa alla base è bisettrice, mediana e asse, dunque divide il triangolo in due triangoli rettangoli tra loro congruenti.

I triangoli rettangoli sono così formati:

l'ipotenusa è il lato obliquo;
il primo cateto è la proiezione del lato obliquo sulla base
e corrisponde a metà base;
il secondo cateto è l'altezza relativa alla base.

Triangolo equilatero
Triangolo rettangolo con angoli 30° e 60°

Un triangolo equilatero ha anche tutti gli angoli tra loro congruenti a 60°.
L'altezza relativa a qualunque lato divide il triangolo in due triangoli rettangoli congruenti: ciascuno di essi è un triangolo rettangolo avente gli angoli acuti uguali a 30° e a 60° e sono sempre metà triangolo equilatero.
Dunque un triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60° può essere considerato metà triangolo equilatero.

Questo particolare triangolo rettangolo ha come:

ipotenusa il lato obliquo;
primo cateto la metà del lato obliquo;
secondo cateto è l'altezza relativa alla base.

Trapezio scaleno

Le altezze in un trapezio scaleno condotte dagli estremi della base minore dividono la figura in tre parti: due triangoli rettangoli e un rettangolo.
Possiamo così affermare che in ciascun triangolo rettangolo:

il lato obliquo è l'ipotenusa;
la proiezione dello stesso lato obliquo sulla base maggiore è il primo cateto;
l'altezza è il secondo cateto.

Trapezio isoscele

Il trapezio isoscele è un trapezio avente come lati obliqui due lati tra loro congruenti.
Le altezze condotte dagli estremi della base minore dividono il trapezio in tre parti: due triangoli rettangoli tra loro congruenti e un rettangolo (che talvolta può essere un quadrato quando la base minore e l'altezza hanno la stessa lunghezza.
Possiamo così affermare che in ciascun triangolo rettangolo: