Gli insiemi

CARATTERISTICHE DEGLI INSIEMI

Cos'è un insieme matematico?

Si chiama insieme un raggruppamento, un contenitore virtuale, nel quale i suoi componenti sono stabiliti con certezza.
In un insieme matematico esiste un criterio oggettivo (che è uguale per tutti) che permette di indicare, in modo univoco, se un elemento fa parte di quell'insieme oppure no.

Un insieme può essere matematico o non matematico:

matematico

La caratteristica è oggettiva

gli oggetti nell’astuccio di Sara
le canzoni italiane
le lettere della parola «ginnastica»
i numeri pari minori di 15

non matematico

La caratteristica non è oggettiva

i cantanti più bravi
gli amici più simpatici
i piatti più buoni
i numeri «fortunati» al lotto

I componenti di un insieme si chiamano elementi.
Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole dell'alfabeto (a, b, c, ...).
Gli elementi che compongono un insieme possono essere sia oggetti reali che oggetti astratti: numeri, lettere, figure, animali, persone, ....

I simboli ∈ e ∉

∈ → l’elemento appartiene (fa parte) dell’insieme che sto considerando
∉ → l’elemento NON appartiene (non fa parte) dell’insieme che sto considerando

Consideriamo l’insieme A costituito dalle lettere della parola «altalena», di sicuro possiamo affermare che:
a ∈ A → l’elemento a (la lettera a) appartiene all’insieme A
b ∉ A → l’elemento b (la lettera b) non appartiene all’insieme A
z ∉ A → l’elemento z (la lettera z) non appartiene all’insieme A
l ∈ A → l’elemento l (la lettera l) appartiene all’insieme A

L'insieme vuoto

Non ha elementi.
Per indicare questo insieme si usa il simbolo ∅.
L'insieme al suo interno, nella rappresentazione grafica, non ha nessun elemento.

Sono esempio di insiemi vuoti:

le consonanti nella parola aia
i numeri dispari divisibili per 2
i triangoli con 4 lati

Consideriamo l'insieme K dei numeri che compongono la parola "leale"
K = {∅}
K = {x|x è un numero nella parola "leale"}

Gli insiemi finiti

Hanno un numero limitato di elementi.
Anche se sono molto numerosi li potrei contare.
Può avere anche solo un elemento.

Sono esempi di insiemi finiti:

gli alunni della classe 1^E
i numeri pari minori di 10
i granelli di sabbia nella spiaggia del Poetto

L'insieme A delle lettere della parola altalena.
A = {x|x è una lettera della parola altalena}
A = {a; l; t; e; n}

Gli insiemi infiniti

Ha un numero infinito di elementi.
Non esiste una fine in questo insieme.

Sono esempi di insiemi infiniti:

i numeri pari
i multipli di 5
i triangoli con un lato di 3 cm

L'insieme F dei numeri multipli di 3.
F = {x|x è un multiplo di 3}
F = {3; 6; 9; 12; 15; ...}

Un insieme infinito non può essere rappresentato graficamente.

I SOTTOINSIEMI

Si parla di sottoinsieme quando gli elementi di un insieme sono interamente contenuti in un altro insieme.

I sottoinsiemi propri

Si parla di sottoinsieme proprio quando gli elementi di un insieme A sono contenuti interamente in un altro insieme B, ma esiste almeno un elemento di B che non è anche elemento di A.

Consideriamo i due insiemi:

A = {x|x è un numero pari minore di 9}

B = {x|x è un numero naturale minore di 9}

Elenchiamo gli elementi dei due insiemi:

A = {2; 4; 6; 8}

B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Rappresentiamoli graficamente

Come puoi notare l'insieme A è interamente contenuto nell'insieme B.

Sottoinsieme improprio

Esistono due situazioni nelle quali si usa impropriamente il termine sottoinsieme:

i due insiemi hanno gli stessi elementi → ogni insieme ha come sottoinsieme sé stesso
uno dei due insiemi è vuoto → l'insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme

Gli elementi dei due insiemi coincidono

Consideriamo i due insiemi A e B:
A = {x|x è una lettera della parola "iena"}
B = {x|x è una lettera della parola "nenia"}
Rappresentiamo per elencazione i due insiemi:
A = {i; e; n; a}
B = {n; e; i; a}
Rappresentiamo graficamente i due insiemi:

In questa particolare situazione possiamo dire che A è sottoinsieme improprio di B e che B è sottoinsieme improprio di A:
A≡B → A⊆B come B⊆A

Uno dei due insiemi è vuoto

Consideriamo i due insiemi A e B:
A = {x|x è un numero pari minore di 9}
B = {x|x è un numero pari che finisce con 1}
Rappresentiamo per elencazione i due insiemi:
A = {2; 4; 6; 8}
B = {∅}
Rappresentiamo graficamente i due insiemi:

Diremo allora che
B⊆A
questo perché l'insieme vuoto (∅) è sottoinsieme di qualunque insieme, compreso un altro insieme vuoto.

RAPPRESENTARE GLI INSIEMI

Rappresentazione per elencazione

Dentro una parentesi graffa si elencano gli elementi separati da punti e virgola.
Prima della parentesi graffa si indica il nome dell'insieme (una lettera maiuscola dell'alfabeto) e si mette il segno di uguale.

Rappresentiamo per elencazione l'insieme A delle lettere della parola "altalena"

A = {a; e; l; n; t}

In generale si usa per rappresentare insiemi che sono poco numerosi.
Nel caso in cui gli elementi appartengano ad una determinata successione (sono numeri multipli di un certo numero), dopo averne elencati diversi si metteranno i puntini di sospensione che indicano che l'elenco continua all'infinito.

L'insieme dei numeri pari → ℙ = {2; 4; 6; 8; 10; 12; ...}

ATTENZIONE: lo stesso elemento non si ripete mai.

L'insieme F delle lettere nella parola "caciotta" → F = {c; a; i; o; t}

Rappresentazione grafica

Si chiamano diagrammi di Eulero-Venn.
Dentro un ellisse vengono indicati gli elementi che compongono l'insieme che sto considerando.
Generalmente a sinistra di ciascun elemento è posto un puntino.

Rappresentiamo l'insieme S dei numeri dispari minori di 14 e maggiori di 7

Si usa per rappresentare insiemi poco numerosi e in particolare per mettere in evidenza le relazioni esistenti tra diversi insiemi.

Rappresentazione per caratteristica

Dentro la parentesi graffa viene indicata la proprietà che caratterizza in modo oggettivo e univoco i suoi elementi.
Prima della parentesi graffa è indicato il nome dell'insieme considerato (una lettera maiuscola dell'alfabeto) e di fianco il segno di uguale.
Generalmente si usa per rappresentare insiemi molto numerosi o insiemi infiniti.

Rappresentiamo l'insieme S dei numeri dispari minori di 14 e maggiori di 7

S = {𝑥 ∈ 𝔻 | 7 < 𝑥 < 14}

si legge
S è uguale a 𝑥 sia un numero dispari e tale che sia compreso tra 7 e 14, estremi esclusi.

si traduce in
nell'insieme S ogni elemento (𝑥) è dispari e tale che sia compreso tra 7 e 14, estremi esclusi.

Rappresentiamo l'insieme L dei mesi dell'anno

L = {𝑥|𝑥 è un mese dell'anno}

si legge
L è uguale a 𝑥 tale che 𝑥 sia un mese dell'anno.

si traduce in
nell'insieme L ogni elemento (𝑥) è tale che sia un mese dell'anno.

LE OPERAZIONI CON GLI INSIEMI

L'insieme intersezione: A∩B = B⋂A

L'insieme intersezione è rappresentato da tutti gli elementi che hanno in comune gli insiemi considerati.
Considera i due insiemi A e B, metti in evidenza gli elementi comuni a entrambi:

A = {2; 4; 6; 8; 10; 12}

B = {3; 6; 9; 12}

Nella parte a sinistra (←) inserisci gli elementi che appartengono solo ad A
Nella parte centrale inserisci gli elementi che hai messo in evidenza e che appartengono sia ad A che a B
Nella parte a destra (→) inserisci gli elementi che appartengono solo a B

La parte centrale, evidenziata nell'immagine a fianco, in grigio, è l'insieme INTERSEZIONE.
A⋂B={6; 12}

L'insieme unione: A⋃B = B⋃A

L'insieme unione è rappresentato da tutti gli elementi degli insiemi considerati.
Ciascun elemento non può essere ripetuto.
Considera i due insiemi A e B, metti in evidenza gli elementi comuni a entrambi:

A={2; 4; 6; 8; 10; 12}

B={3; 6; 9; 12}

Nella parte a sinistra (←) inserisci gli elementi che appartengono solo ad A
Nella parte centrale inserisci gli elementi che hai messo in evidenza e che appartengono sia ad A che a B
Nella parte a destra (→) inserisci gli elementi che appartengono solo a B

La somma di tutte le parti (evidenziata in grigio) è l'insieme UNIONE.
A⋃B = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12}

La differenza di due insiemi

La differenza di due insiemi è un insieme formato da tutti gli elementi del primo insieme esclusi quelli che ha in comune con il secondo insieme.
Considera i due insiemi A e B, metti in evidenza gli elementi comuni a entrambi:

A = {2; 4; 6; 8; 10; 12}

B = {3; 6; 9; 12}

Nella parte a sinistra (←) inserisci gli elementi che appartengono solo ad A
Nella parte centrale inserisci gli elementi che hai messo in evidenza e che appartengono sia ad A che a B
Nella parte a destra (→) inserisci gli elementi che appartengono solo a B

Tutti gli elementi di A tranne quelli
che sono anche elementi di B.

A–B = {2; 4; 8; 10}

Tutti gli elementi di B tranne quelli
che sono anche elementi di A.

B–A = {3; 9}

Gioca con gli insiemi e vedi cosa succede

Muovi i tre cerchi e prova a sovrapporli.
Le parti sovrapposte corrispondono all'insieme intersezione tra gli insiemi che sto considerando.

Rappresentare graficamente tre insiemi

A⋂B⋂C
Gli elementi che sono presenti contemporaneamente in A, B e C.

(A⋂B)–C
Gli elementi che hanno in comune A e B tranne quelli che sono in comune anche con C

(B⋂C)–A
Gli elementi che hanno in comune B e C tranne quelli che sono in comune anche con A

(A⋂C)–B
Gli elementi che hanno in comune A e C tranne quelli che sono in comune anche con B

A–(B⋃C)
Tutti gli elementi di A tranne quelli che ha in comune con B e C

B–(A⋃C)
Tutti gli elementi di B tranne quelli che ha in comune con A e C

C–(A⋃B)
Tutti gli elementi di C tranne quelli che ha in comune con A e B

Esercizio svolto

L'insieme A, è costituito dai primi dodici numeri naturali,
l'insieme B è costituito dai numeri pari minori di 15,
l'insieme C è costituito dai primi cinque multipli di 3.

Per prima cosa elenca gli elementi dei tre insiemi A, B e C:
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}
B = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14}
C = {3, 6; 9; 12; 15}
Metti in evidenza gli elementi comuni a tutti e tre gli insiemi e collocali nella parte centrale gialla
A⋂B⋂C = {6; 12}
Tra gli elementi rimasti, colora gli elementi comuni a A e B e collocali nella parte rosa
(A⋂B)–C = {2; 4; 8; 10}
Tra gli elementi rimasti, colora gli elementi comuni a B e C e collocali nella parte verde chiaro
(B⋂C)–A = {∅}
Tra gli elementi non messi in evidenza, colora gli elementi comuni a A e C e collocali nella parte azzurra
(A⋂C)–B = {3; 9}
Inserisci nello spazio bordato di verde, e non colorato all'interno, gli elementi dell'insieme A che non sono stati evidenziati
A–(B⋃C) = {5; 7; 11}
Inserisci nello spazio bordato di blu, e non colorato all'interno, gli elementi dell'insieme B che non sono stati evidenziati
B–(A⋃C) = {14}
Inserisci nello spazio bordato di rosso, e non colorato all'interno, gli elementi dell'insieme C che non sono stati evidenziati
C–(A⋃B) = {15}