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LO SPAZIO TRIDIMENSIONALE

Sino ad ora abbiamo lavorato con al massimo due dimensioni.
Oggetti geometrici che non hanno dimensioni: il punto.
Oggetti geometrici che hanno una dimensione: le linee e i segmenti.
Oggetti geometrici che hanno due dimensioni: le figure che possono essere disegnate in un piano, gli angoli.
D’ora in poi lavoreremo con gli oggetti geometrici che più si avvicinano alla realtà: le figure solide o tridimensionali. I corpi che troviamo in natura hanno forme geometriche irregolari, pertanto l’uomo ha cercato di «semplificare» le cose creando dei solidi che avessero caratteristiche simili a quelle naturali ma forme più semplici da riprodurre. ​

LE RETTE NELLO SPAZIO TRIDIMENSIONALE

Sino ad ora abbiamo visto rette e segmenti nel piano.
Sono infiniti i piani che possono contenere una singola retta (figura a fianco): per la retta a passano i piani α, β, γ, ν, ξ, ρ, ...
Per una retta e un punto non appartenente alla retta passa uno e un solo piano.
Per tre punti distinti non allineati passa uno e un solo piano.
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Complanari → si dice di due o più oggetti che appartengono allo stesso piano.
Due rette parallele sono sempre complanari e hanno costante la loro distanza: le rette t e u sono parallele e appartengono contemporaneamente allo stesso piano β. ​
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Due rette incidenti sono sempre complanari (esiste sempre un piano capace di contenerle entrambe): le rette r e s sono incidenti e appartengono contemporaneamente al piano α.
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Due rette non complanari e non incidenti si dicono sghembe. In questo caso particolare non esiste un piano capace di contenerle entrambe contemporaneamente: tra i piani passanti per la retta c non esiste nessun piano in comune capace di contenere anche la retta d. ​
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I DIVERSI TIPI DI SOLIDO

  • Solido → qualunque figura che occupa uno spazio tridimensionale, dotato quindi di un estensione in tre dimensioni diverse e tra loro perpendicolari.
  • Superficie → quella parte del solido che lo delimita dallo spazio esterno.
  • Poliedro → solido la cui superficie esterna è delimitata da poligoni.
  • Solido a superficie curva → un solido la cui superficie esterna è delimitata da almeno una superficie curva (che non può essere riprodotta in un piano).
  • Solido di rotazione → solido generato dalla rotazione di una figura piana attorno ad un asse interno o esterno alla superficie delle figura che ruota. I solidi di rotazione sono anche solidi a superficie curva.
  • Solido irregolare → qualunque solido non riconducibile ai solidi visti sopra.

Poliedri

In un poliedro possiamo distinguere: 
  • ​Faccia → ciascuno dei poligoni che formano la superficie del poliedro.
  • Spigolo → sono i lati dei poligoni che costituiscono le facce del poliedro.
  • Vertice → ciascuno dei punti nei quali convergono le facce, sono così gli estremi di ciascuno spigolo.
  • Diagonale → segmento che ha come estremi due vertici non appartenenti alla stessa faccia. 
Tutta la sua superficie di un poliedro è tassellata di poligoni. 
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Solidi a superficie curva

Tutta la loro superficie ha superfici curve  (non riproducibili in un foglio) e talvolta anche da superfici piane. 
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Solidi di rotazione

​Sono solidi che si ottengono facendo ruotare figure piane (poligoni o a contorno curvilineo o misto) attorno ad un asse di rotazione.
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Solidi irregolari

Sono solidi che non appartengono alle categorie già viste. Si tratta generalmente di oggetti non antropici e quindi creati dalla natura. 
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IL VOLUME E LA CAPACITÀ

Volume → spazio tridimensionale occupato da un solido.
Misura l’estensione tridimensionale dell’oggetto nello spazio.
Nell’oggetto rappresentato sotto, un bicchiere, il volume è rappresentato dallo spazio occupato dal bicchiere sottratto lo spazio vuoto che può essere occupato da un liquido.  
​
Capacità → il volume esterno che può essere contenuto da un oggetto, detto contenitore, che presenta così una cavità.
Nell’oggetto rappresentato a fianco, la capacità del bicchiere è rappresentata dalla quantità massima di liquido che il bicchiere può contenere. 
​
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Solidi equivalenti → si dice di due solidi che occupano lo stesso volume.
Il volume generalmente si esprime in multipli e sottomultipli del metro cubico o metro cubo (m³), il volume di liquido contenuto in un altro oggetto o il volume che può ospitare un contenitore si può esprimere sia in multipli e sottomultipli del metro cubo che del litro. ​
Misurare il volume di un solido o la capacità di un recipiente può essere cosa semplice se questi hanno forme semplici riconducibili a formule ben precise. ​
Se un oggetto ha una forma irregolare e magari è poroso può essere difficile misurarne il volume, ma, in questo caso possono essere usati degli stratagemmi:
  1. si immerge il solido in un liquido che non ne aumenta l’estensione della superficie esterna ma che riempie eventuali fessure, rendendolo così impermeabile;
  2. ora si immerge il solido in un cilindro graduato nel quale è presente un liquido in quantità nota (ad esempio 200 ml);
  3. misuriamo il livello raggiungo dal liquido dopo l’immersione del solido (ad esempio 280 ml);
  4. facciamo la differenza tra il livello dopo l’immersione e quello invece prima dell’immersione, in questo caso faremo 280 ml – 200 ml = 80 ml, questo che abbiamo trovato è il volume dell’oggetto che è stato immerso. 

LE EQUIVALENZE TRA MISURE DI VOLUME

Come in tutte le equivalenze, ricorda: 
se l'unità di misura aumenta, la misura diminuisce; 
se l'unità di misura diminuisce, la misura aumenta.
Il salto da un’unità di misura di volume in multipli e sottomultipli del metro cubo ad un’altra al suo fianco genera sempre un cambiamento che è uguale al cubo del cambiamento per le misure lineari:
  • aumenta di 1.000 volte con ogni salto che compio verso destra (se l’unità di misura diminuisce, la misura aumenta);
  • diminuisce di 1.000 volte con ogni salto che compio verso sinistra (se l’unità di misura aumenta, la misura diminuisce).
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1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³ = 1.000.000.000 mm³
1 m³ = 0,001 dm³ = 0,000.001 cm³ = 0,000.000.001 mm³

Le equivalenze tra le misure di capacità

Il salto da un’unità di misura di capacità in multipli e sottomultipli del litro ad un’altra al suo fianco genera sempre un cambiamento di dieci volte maggiore o minore:
  • aumenta di 10 volte con ogni salto che compio verso destra (se l’unità di misura diminuisce, la misura aumenta);
  • diminuisce di 10 volte con ogni salto che compio verso sinistra (se l’unità di misura aumenta, la misura diminuisce).
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Le equivalenze tra unità di misura di volume, di capacità e loro corrispondenze

Quando dobbiamo fare un equivalenza tra misure di volume date da multipli e sottomultipli del metro cubo, le cose si complicano un pochino. ​
In questo caso può esserci d’aiuto la tabella sotto. Vediamo come funziona.
Come prima cosa metti in evidenza la cifra delle unità nella misura e collocala nella colonna u dell’unità di misura indicata a fianco.  ​
Nell’esempio sotto abbiamo 50 cm³, la cifra delle unità è 0 e la collochiamo nella colonna u dei cm³. Riempiamo gli spazi vuoti fino ad arrivare all’unità di misura finale, in questo caso i dm³, poiché l’unità di misura è maggiore la misura diventerà più piccola: infatti 50 cm³ corrispondono a 0,05 dm³. 
Ricorda: se l’unità di misura aumenta, la misura diminuisce e viceversa. ​
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LA DENSITÀ

La densità è una grandezza derivata perché per ottenerla devo dividere la massa di un corpo per il volume occupato dal corpo stesso.
Calcolare le densità dei diversi materiali e delle diverse sostanze è stato davvero importante perché danno una misura di quanta massa è contenuta nei diversi solidi a parità di volume occupato. Pertanto, dati due oggetti equivalenti (stesso volume), un oggetto più denso avrà una massa maggiore di un oggetto meno denso (conoscete tutti il quesito «Pesa di più un chilogrammo di paglia o un chilogrammo di ferro?» la risposta è che hanno lo stesso peso, hanno così la stessa massa, ma il volume occupati dai due solidi è completamente diverso). ​
L’unità di misura della densità è il chilogrammo per metro cubo:
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La densità è direttamente proporzionale alla sua massa → vuol dire che, a parità di volume, se la massa raddoppia (a parità di volume) anche al densità raddoppia, se la massa triplica anche la densità triplica.
​La densità è inversamente proporzionale al volume → vuol dire che, a parità di massa, se il volume raddoppia (a parità di massa) la densità diventa la metà, se il volume triplica la densità diventa un terzo.
Un pochino di formule inverse:
massa = densità × volume
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Pagina creata il 3 marzo 2023

Mauitaui e la matematica - www.mauitaui.org - Prof.ssa Marisa Piras - Cagliari - Italy

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