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​PAGINA IN FASE DI ELABORAZIONE

SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO

Scomporre un polinomio vuol dire riscrivere il polinomio come prodotto di monomi e polinomi più piccoli a loro volta non scomponibili.
In pratica vuol dire cercare di capire quali prodotti tra polinomi o tra monomi hanno generato il polinomio che si intende scomporre.
x⁵ – x⁴ – 7x³ + x² + 6x = x (x –3)(x – 1)(x + 1)(x + 2)
​
polinomio                     scomposizione
Non sono scomponibili:
  • la somma di due quadrati;
  • xⁿ + yⁿ → se n è pari (tranne nel caso in cui l'esponente sia in entrambi multiplo di 3 o di 4)
  • quei polinomi di secondo grado il cui delta è minore di zero.

Raccoglimento totale a fattor comune o la messa in evidenza

Scomporre a fattore comune vuol dire calcolare il MCD tra i monomi di un polinomio e moltiplicare così il MCD per tutto ciò che non è in comune nel polinomio.
Supponiamo di voler scomporre il seguente polinomio: 15 x²y – 20 axy + 35 x⁴y²
  • scompongo tutti i coefficienti (i numeri).
    = 3 · 5 · x²y – 2² · 5 · a x y + 5 · 7 x⁴ y² =
  • Che cos’hanno tutti quanti in comune? Hai trovato il MCD tra i monomi del polinomio.
    5xy = MCD
  • Moltiplica il MCD per il polinomio e dividi ciascun monomio del polinomio per il loro MCD lasciando il polinomio dentro una parentesi.​
    = 5xy (15 x²y : 5xy – 20axy : 5xy + 35x⁴y² : 5xy) =
  • Scrivi il MCD;
    apri una parentesi;
    scrivi i risultati delle singoli divisioni (tutto ciò che non è presente nel MCD);
    chiudo la parentesi.
    = 5xy (3x – 4a + 7x³y) ​hai trovato il tuo polinomio scomposto
Ricorda: se il MCD coincide con un monomio, dentro la parentesi dovrò mettere 1 al posto del monomio coincidente con il MCD.
12a⁴b² – 8a²b + 2a² =
calcoliamo ciò che hanno tutti i monomi in comune
12 = 2² · 3      8 = 2³      2=2     →     2a² = MCD
scrivi il MCD → apri una parentesi → riscrivi il polinomio e dividi ciascun termine per il MCD
​2a² [(12 a⁴b² : 2a²) – (8a²b : 2a²) + (2a² : 2a²)] =
= 
2a² (6a²b² – 4b + 1)

Raccoglimento parziale

Quando ci troviamo di fronte ad un polinomio (composto da un numero non primo di monomi), talvolta non è possibile fare un raccoglimento totale ma possiamo notare che è possibile fare un raccoglimento parziale, cioè vedere se dei termini, a gruppi di 2 o di 3 o anche più, hanno in comune dei fattori. 
Foto

​Il raccoglimento totale è il primo metodo da usare quando dobbiamo scomporre un polinomio.
Vogliamo scomporre la seguente somma algebrica:   3a²b – 2a + 12ab – 8 =
  • esiste un fattore (numero o lettera) comune a tutti i monomi? NO
  • Essendo un quadrinomio possono essere fatti solo gruppi di 2 monomi, la domanda è: ci sono due monomi che hanno in comune uno o più fattori?
    Sì, il primo e il terzo monomio:
    3a²b e 12ab
  • Fai un raccoglimento tra il primo e il terzo monomio
    3a²b + 12ab = 3ab (a + 4)
  • Prendi gli altri due monomi e fai un raccoglimento
    – 2a – 8 = – 2 (a + 4)
    ho messo in evidenza il – perché entrambi i monomi sono negativi ​
  • Sostituisci alle due coppie di monomi la loro scomposizione
    3a²b + 12ab – 2a – 8 =
    = 3ab (a + 4) – 2 (a + 4)
  • Che cos’hanno in comune le due scomposizioni?
    ​l’elemento tra parentesi → (a + 4)
  • Riscrivi l’elemento comune alle due scomposizioni e moltiplicalo per gli elementi non comuni alle due scomposizioni (ma comuni a ciascuna coppia presa inizialmente)
    ​(a + 4)(3ab – 2)
    Ora hai scomposto il quadrinomio usando la scomposizione parziale
Vogliamo scomporre la seguente somma algebrica:
2ab – 8a + 2b – 8 + 2bc – 8c
  • Esiste un fattore (numero o lettera) comune a tutti i monomi? Sì
    2ab – 8a + 2b – 8 + 2bc – 8c
  • Fai un raccoglimento totale
    ​2 (ab – 4a + b – 4 + bc – 4c)
  • Essendo un polinomio composto da 6 monomi possiamo considerare gruppi di 2 o di 3 monomi.
  • Sottolinea i monomi che intendi prendere in considerazione
    ​2 (ab – 4a + b – 4 + bc – 4c) =
    = 2 (ab + b + bc – 4a – 4 – 4c) =
  • Applica un raccoglimento tra i termini considerati
    ​ab + b + bc = b (a + 1 + c)
    – 4a – 4 – 4c = – 4a (a + 1 + c) 
  • Scrivi il termine in comune a tutti
  • Scrivi l’elemento comune ai due raccoglimenti parziali
  • Dentro una parentesi scrivi gli elementi non comuni ai raccoglimenti parziali​
    ​2 (a + 1 + c)(​b – 4a)
​Vi propongo nel video  alcuni esempi, che spero possano essere di vostro aiuto.

Scomposizione di un trinomio caratteristico o particolare

Il trinomio particolare è un trinomio nel quale, messo in ordine:
  • il primo termine è un quadrato con coefficiente 1;
  • mentre il secondo termine è data dalla loro somma o la loro differenza degli stessi due termini;
  • il termine noto può essere visto come il prodotto di due numeri. 
Nel trinomio vengono individuati due termini: 
  • somma (perché si tratta di una somma algebrica) → valore del coefficiente del secondo termine
  • prodotto → valore del termine noto
Per svolgere questa scomposizione è necessario che si individuino due numeri relativi tali che: la loro somma dia il coefficiente del secondo termine, mentre il loro prodotto dia il valore del termine noto.
Il risultato della scomposizione è uguale al prodotto di due binomi, così composti:
  • l'incognita e il primo numero;
  • l'incognita e il secondo numero.
x² + (a + b)x + (a · b) =
​= (x +
a)(x + b)
Prodotto
Somma
Caratteristiche dei due numeri
Esempi
Positivo
Positiva
Concordi positivi
x² + 5x + 4 =
= x² +
(4 + 1)x + (4 · 1)=
​= (x +
4)(x + 1)
Positivo
Negativa
Concordi negativi
x² – 5x + 4 =
= x² – 
(4 + 1)x + (4 · 1) =
​= (x –
4)(x – 1)
Negativo
Positiva
Discordi, il maggiore è positivo
x² + 2x – 15 =
​= x² +
(5 – 3)x – (5 · 3) =
​= (x +
5)(x – 3)
Negativo
Negativa
Discordi, il maggiore è negativo
x² – 2x – 15 =
​= x² –
(5 – 3)x – (5 · 3) =
​= (x – 5)(x + 3)
Lo svolgimento della scomposizione può essere svolta in due modi differenti:
  • uno è quello indicato negli esempi;
  • l'altro è quello di distribuire l'incognita ai termini individuati nella somma e fare poi un raccogliemento parziale.
Foto

Trinomio riconducibile ad un trinomio particolare
​(o caratteristico)

Alcuni trinomi non possono essere definititi caratteristici perché il coefficiente del termine al quadrato è diverso da 1, ma sarà comunque possibile scomporlo attraverso altre strategie.
Con il trinomio caratteristico ha in comune:
  • il valore del prodotto = «coefficiente del termine al quadrato» · «il termine noto»;
  • il valore della somma (o della differenza) dei valori = coefficiente del secondo termine. 
Vogliamo scomporre il seguente trinomio:
6x² – x – 2
Il termine noto è positivo o negativo? Cosa vuol dire?
Il termine noto è –2 e vuol dire che i due numeri sono discordi  ​
Quali sono il valore del prodotto e della somma nel trinomio?
Prodotto = 6 · –2 = –12
Somma = – 1
Quali numeri moltiplicati tra loro danno come valore il prodotto?
12 · 1 = 6 · 2 = 4 · 3
Tra le coppie quali la loro differenza (prodotto negativo indica una differenza tra i valori assoluti) dà come valore quello della somma?
12 - 1 = 11
6 - 2 = 4
​4 – 3 = 1
Sostituisci alla somma nel trinomio i due valori numerici che hai trovato e distribuisci la x:
6x² – (4 – 3) x – 2 =
= 6x² – 4x + 3x – 2 =
Fai un raccoglimento parziale tra i termini
= 2x · (3x – 2) + 1 · (3x – 2)=
= (3x – 2)(2x + 1)

Riconoscere lo sviluppo del quadrato di un binomio

Lo sviluppo del quadrato di un binomio è:
  • un TRINOMIO (polinomio formato da tre monomi);
  • due dei suoi termini sono il quadrato di qualcosa e sono entrambi positivi o entrambi negativi;
  • il termine che non è un quadrato ha quasi sempre coefficiente pari, se i coefficienti degli altri due termini sono numeri naturali, e può essere sia positivo che negativo.
Se i due quadrati sono negativi:
  • metti un segno –
  • apri una parentesi
  • riscrivi il trinomio cambiato di segno
  • chiudi la parentesi. 
​– b² + 2bc – c² =
= – (b² – 2bc + c²)  
Se il doppio prodotto è
I due termini sono
positivo
concordi
​(entrambi positivi o entrambi negativi)
negativo
discordi
​(uno positivo e l'altro negativo o viceversa)
Se il doppio prodotto è positivo: i termini del binomio sono concordi, o entrambi positivi o entrambi negativi.
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Se il doppio prodotto è negativo: i termini del binomio sono discordi, se il primo termine è positivo il secondo sarà negativo e viceversa.
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La differenza di due quadrati
​è il prodotto di una somma per una differenza

La differenza di due quadrati la riconosci perché hai:
  • due monomi;
  • di cui uno è positivo e l'altro è negativo;
  • ​entrambi sono dei quadrati.
Importante: il numero 1 è uguale al quadrato di 1.
La scomposizione della differenza di due quadrati è uguale a:
  • il prodotto di un binomio concorde per lo stesso binomio ma discorde;
  • ciascun monomio nel binomio è uguale rispettivamente alla radice quadrata dei due monomi nella differenza, presi in valore assoluto.
Nella differenza dei due quadrati:
  • il termine positivo sarà presente nei due binomi sempre con lo stesso segno (o positivo o negativo);
  • il termine negativo sarà presente nei due binomi con segno opposto. 
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Scomposizione della somma di due cubi

Se hai di fronte un binomio concorde positivo e entrambi i termini sono dei cubi, la loro scomposizione sarà:
Foto
Se hai un binomio concorde negativo e entrambi i termini sono dei cubi, metti in evidenza il segno meno e scomponi come sopra. ​

Scomposizione della differenza di due cubi

Se hai di fronte un binomio discorde e entrambi i termini sono dei cubi, la loro scomposizione sarà:
Foto

Scomposizione di binomi particolari

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Se n è pari
Non si può scomporre per avere radici razionali.
Se n è multiplo di 4 esiste una formula per poterlo scomporre che deriva dal completamento di un quadrato (scomposizione di Sophie Germain).
Se n è dispari
È divisibile per la somma delle basi
Foto
Se n è pari
È divisibile sia per la somma sia per la differenza delle basi
Se n è dispari
È divisibile solo per la differenza delle basi
Risoluzione di un caso particolare
(verrà poi approfondito negli studi universitari o in alcune classi dei licei scientifici -
si chiama il completamento del quadrato o scomposizione di Sophie Germain):
x⁴ + 4 = 
= x⁴ + 4 + 4x² – 4x² = 
= (x⁴ + 4 + 4x²) – 4x² = 
= (x² + 2)² – (2x)² = 
= (x² + 2 + 2x)(x² + 2 – 2x)
Sembra il quadrato di un binomio ma manca il doppio prodotto, così aggiungiamo il doppio prodotto e togliamo il doppio prodotto.
Otteniamo così, mettendolo in evidenza con delle parentesi ad hoc, la differenza di due quadrati.
Vediamo un altro esempio:
81a⁴ + 4b⁴ =
= (9a²)² + 36a²b² +(2b²)² – 36a²b² =
= [(9a²)² + 36a²b² +(2b²)²] – 36a²b² =
= (9a² + 2b²)² – (6ab)² =
=(9a² + 2b² + 6ab)(9a² + 2b² – 6ab)

Scomposizione col metodo di Ruffini

Il metodo di Ruffini si applica a polinomi a coefficienti interi. 
Grazie al metodo di Ruffini siamo in grado di scomporre qualunque tipo di polinomio i cui zeri sono numeri interi o razionali.
​Il polinomio deve essere ridotto in forma normale e scritto in modo ordinato (dall'incognita con l'esponente maggiore sino al termine noto).
Cerchiamo gli zeri del polinomio, cioè quei numeri che sostituiti all'incognita rendono zero il valore del polinomio.
Divisori interi o razionali possibili:
  1. individuo nel polinomio il coefficiente dell'incognita di maggiore grado e il termine noto;
  2. ± i divisori del termine noto;
  3. ± i divisori del termine noto diviso i divisori del coefficiente dell'incognita di grado maggiore.
Foto
⚠ Se il coefficiente dell'incognita di maggiore grado è uguale a 1, gli zeri razionali sono numeri interi.
Zeri di un polinomio: tutti quei numeri che sostituiti all’incognita fanno diventare zero il polinomio. 
⚠ Se il polinomio è di primo grado può ammettere al massimo uno zero.
Se il polinomio è di secondo grado può ammettere al massimo due zeri.
Se il polinomio è di n grado può ammettere al massimo n zeri.

MCD e mcm di polinomi

Contatore inserito il 22 luglio 2021

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