Scomposizione di un polinomio

Scomporre un polinomio vuol dire riscrivere il polinomio come prodotto di monomi e polinomi più piccoli.
In pratica vuol dire cercare di capire quali prodotti tra polinomi o tra monomi hanno generato il polinomio che si intende scomporre.
               Polinomio                           Scomposizione

Raccoglimento a fattor comune o la messa in evidenza

Scomporre a fattore comune vuol dire calcolare il MCD tra i monomi di un polinomio e moltiplicare così il MCD per tutto ciò che non è in comune nel polinomio.
Ecco passo a passo come procedo:
  • scompongo tutti i coefficienti (i numeri)
  • scrivo ciò che hanno TUTTI in comune (il MCD tra i monomi)
  • apro una parentesi
  • scrivo tutto ciò che non è presente nel MCD
  • chiudo la parentesi
Ricorda: se il MCD coincide con un monomio, dentro la parentesi dovrò mettere 1.

Raccoglimento parziale

Quando ci troviamo di fronte ad un polinomio (composto da un numero non primo di monomi), talvolta non è possibile fare un raccoglimento totale ma possiamo notare che è possibile fare un raccoglimento parziale, cioè vedere se dei termini, a gruppi di 2 o di 3 o anche più, hanno in comune dei fattori. 

​Ricordiamo che il raccoglimento totale è il primo metodo da usare quando dobbiamo scomporre un polinomio.

​Vi propongo nel video  alcuni esempi, che spero possano essere di vostro aiuto.

Quadrato di un binomio

Siamo di fronte a:
  • un TRINOMIO (polinomio formato da tre monomi);
  • due dei suoi termini sono il quadrato di qualcosa e sono entrambi positivi o entrambi negativi;
  • il termine che non è un quadrato ha quasi sempre coefficiente pari, se i coefficienti degli altri due termini sono numeri naturali, e può essere sia positivo che negativo.

Differenza di due quadrati

Ci troviamo di fronte a:
  • due monomi;
  • uno è positivo e l'altro è negativo;
  • ​entrambi sono dei quadrati.
Importante: il numero 1 è uguale al quadrato di 1.
Come opero:
  1. apro una parentesi e ci metto un segno + e poi la chiudo
  2. apro una seconda parentesi e ci metto un segno - e poi la chiudo (vedi disegno sotto)
  3. metto come primo termine (parte viola) in ogni parentesi ciascun fattore del monomio positivo con tutti gli esponenti tagliati a metà
  4. metto come secondo termine (parte rossa) in ciascuna parentesi ogni fattore del monomio negativo con tutti gli esponenti tagliati a metà.

Trinomio particolare

Siamo di fronte a:
- un trinomio;
​- due monomi hanno le lettere con esponente uno il doppio dell'altro
- il terzo termine è un numero.

Scomposizione con Ruffini

Grazie al metodo di Ruffini siamo in grado di scomporre qualunque tipo di polinomio.
​Il polinomio deve essere ridotto in forma normale.
Cerchiamo li zeri del polinomio, cioè quei numeri che sostituiti all'incognita rendono zero il valore del polinomio.
Per trovare lo zero del polinomio proviamo tutte le combinazioni possibili tra:
+ o - di