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​PAGINA IN FASE DI ELABORAZIONE

SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO

Scomporre un polinomio vuol dire riscrivere il polinomio come prodotto di monomi e polinomi più piccoli a loro volta non scomponibili.
In pratica vuol dire cercare di capire quali prodotti tra polinomi o tra monomi hanno generato il polinomio che si intende scomporre.
x⁵ – x⁴ – 7x³ + x² + 6x = x (x –3)(x – 1)(x + 1)(x + 2)
​
polinomio                     scomposizione
Non sono scomponibili:
  • la somma di due quadrati;
  • xⁿ + yⁿ → se n è pari
  • quei polinomi di secondo grado il cui delta è minore di zero.

Raccoglimento totale a fattor comune o la messa in evidenza

Scomporre a fattore comune vuol dire calcolare il MCD tra i monomi di un polinomio e moltiplicare così il MCD per tutto ciò che non è in comune nel polinomio.
Supponiamo di voler scomporre il seguente polinomio: 15 x²y – 20 axy + 35 x⁴y²
  • scompongo tutti i coefficienti (i numeri).
    = 3 · 5 · x²y – 2² · 5 · a x y + 5 · 7 x⁴ y² =
  • Che cos’hanno tutti quanti in comune? Hai trovato il MCD tra i monomi del polinomio.
    5 xy = MCD
  • Moltiplica il MCD per il polinomio e dividi ciascun monomio del polinomio per il loro MCD lasciando il polinomio dentro una parentesi.​
    = 5 xy (15 x²y : 5 xy – 20 a x y : 5 xy  + 35 x⁴y² : 5 xy) =
    = 5 xy (3 x – 4 y + 7 x³) =
  • Scrivi il MCD;
    apri una parentesi;
    scrivi i risultati delle singoli divisioni (tutto ciò che non è presente nel MCD);
    chiudo la parentesi.
    = 5 xy [(15 x²y : 5 xy) – (20 a x y : 5 xy) + (35 x⁴y² : 5 xy)] =
    = 5 xy (3 x – 4 y + 7 x³) ​hai trovato il tuo polinomio scomposto
Ricorda: se il MCD coincide con un monomio, dentro la parentesi dovrò mettere 1 al posto del monomio coincidente con il MCD.
12 a⁴b² – 8 a²b + 2 a² =
calcoliamo ciò che hanno tutti i monomi in comune
12=2² · 3      8=2³      2=2     →     2 a² = MCD
scrivi il MCD → apri una parentesi → riscrivi il polinomio e dividi ciascun termine per il MCD
​2 a² [(12 a⁴b² : 2 a²) – (8 a²b : 2 a²) + (2 a² : 2 a²)] =
= 
2 a² (6 a²b² – 4b + 1)

Raccoglimento parziale

Quando ci troviamo di fronte ad un polinomio (composto da un numero non primo di monomi), talvolta non è possibile fare un raccoglimento totale ma possiamo notare che è possibile fare un raccoglimento parziale, cioè vedere se dei termini, a gruppi di 2 o di 3 o anche più, hanno in comune dei fattori. 
Foto

​Il raccoglimento totale è il primo metodo da usare quando dobbiamo scomporre un polinomio.
Vogliamo scomporre la seguente somma algebrica:   3a²b – 2a + 12ab – 8 =
  • esiste un fattore (numero o lettera) comune a tutti i monomi? NO
  • Essendo un quadrinomio possono essere fatti solo gruppi di 2 monomi, la domanda è: ci sono due monomi che hanno in comune uno o più fattori?
    Sì, il primo e il terzo monomio:
    3a²b e 12ab
  • Fai un raccoglimento tra il primo e il terzo monomio
    3a²b + 12ab = 3ab (a + 4)
  • Prendi gli altri due monomi e fai un raccoglimento
    – 2a – 8 = – 2 (a + 4)
    ho messo in evidenza il – perché entrambi i monomi sono negativi ​
  • Sostituisci alle due coppie di monomi la loro scomposizione
    3a²b + 12ab – 2a – 8 =
    = 3ab (a + 4) – 2 (a + 4)
  • Che cos’hanno in comune le due scomposizioni?
    ​l’elemento tra parentesi → (a + 4)
  • Riscrivi l’elemento comune alle due scomposizioni e moltiplicalo per gli elementi non comuni alle due scomposizioni (ma comuni a ciascuna coppia presa inizialmente)
    ​(a + 4)(3ab – 2)
    Ora hai scomposto il quadrinomio usando la scomposizione parziale
Vogliamo scomporre la seguente somma algebrica:
2ab – 8a + 2b – 8 + 2bc – 8c
  • Esiste un fattore (numero o lettera) comune a tutti i monomi? Sì
    2ab – 8a + 2b – 8 + 2bc – 8c
  • Fai un raccoglimento totale
    ​2 (ab – 4a + b – 4 + bc – 4c)
  • Essendo un polinomio composto da 6 monomi possiamo considerare gruppi di 2 o di 3 monomi.
  • Sottolinea i monomi che intendi prendere in considerazione
    ​2 (ab – 4a + b – 4 + bc – 4c) =
    = 2 (ab + b + bc – 4a – 4 – 4c) =
  • Applica un raccoglimento tra i termini considerati
    ​ab + b + bc = b (a + 1 + c)
    – 4a – 4 – 4c = – 4a (a + 1 + c) 
  • Scrivi il termine in comune a tutti
  • Scrivi l’elemento comune ai due raccoglimenti parziali
  • Dentro una parentesi scrivi gli elementi non comuni ai raccoglimenti parziali​
    ​2 (a + 1 + c)(​b – 4a)
​Vi propongo nel video  alcuni esempi, che spero possano essere di vostro aiuto.

Scomposizione di un trinomio caratteristico o particolare

Il trinomio particolare è un trinomio nel quale, messo in ordine:
  • il primo termine è un quadrato con coefficiente 1;
  • mentre il secondo termine è data dalla loro somma o la loro differenza degli stessi due termini;
  • il termine noto può essere visto come il prodotto di due numeri. 
Nel trinomio vengono individuati due termini: 
  • somma (perché si tratta di una somma algebrica) → valore del coefficiente del secondo termine
  • prodotto → valore del termine noto
Per svolgere questa scomposizione è necessario che si individuino due numeri relativi tali che: la loro somma dia il coefficiente del secondo termine, mentre il loro prodotto dia il valore del termine noto.
Il risultato della scomposizione è uguale al prodotto di due binomi, così composti:
  • l'incognita e il primo numero;
  • l'incognita e il secondo numero.
x² + (a + b)x + (a · b) =
​= (x +
a)(x + b)
Prodotto
Somma
Caratteristiche dei due numeri
Esempi
Positivo
Positiva
Concordi positivi
x² + 5x + 4 =
= x² +
(4 + 1)x + (4 · 1)=
​= (x +
4)(x + 1)
Positivo
Negativa
Concordi negativi
x² – 5x + 4 =
= x² – 
(4 + 1)x + (4 · 1) =
​= (x –
4)(x – 1)
Negativo
Positiva
Discordi, il maggiore è positivo
x² + 2x – 15 =
​= x² +
(5 – 3)x – (5 · 3) =
​= (x +
5)(x – 3)
Negativo
Negativa
Discordi, il maggiore è negativo
x² – 2x – 15 =
​= x² –
(5 – 3)x – (5 · 3) =
​= (x – 5)(x + 3)
Lo svolgimento della scomposizione può essere svolta in due modi differenti:
  • uno è quello indicato negli esempi;
  • l'altro è quello di distribuire l'incognita ai termini individuati nella somma e fare poi un raccogliemento parziale.

Trinomio riconducibile ad un trinomio particolare
​(o caratteristico)

Alcuni trinomi non possono essere definititi caratteristici perché il coefficiente del termine al quadrato è diverso da 1, ma sarà comunque possibile scomporlo attraverso altre strategie.
Con il trinomio caratteristico ha in comune:
  • il valore del prodotto = «coefficiente del termine al quadrato» · «il termine noto»;
  • il valore della somma (o della differenza) dei valori = coefficiente del secondo termine. 
Vogliamo scomporre il seguente trinomio:
6x² – x – 2
Il termine noto è positivo o negativo? Cosa vuol dire?
Il termine noto è –2 e vuol dire che i due numeri sono discordi  ​
Quali sono il valore del prodotto e della somma nel trinomio?
Prodotto = 6 · –2 = –12
Somma = – 1
Quali numeri moltiplicati tra loro danno come valore il prodotto?
12 · 1 = 6 · 2 = 4 · 3
Tra le coppie quali la loro differenza (prodotto negativo indica una differenza tra i valori assoluti) dà come valore quello della somma?
12 - 1 = 11
6 - 2 = 4
​4 – 3 = 1
Sostituisci alla somma nel trinomio i due valori numerici che hai trovato e distribuisci la x:
6x² – (4 – 3) x – 2 =
= 6x² – 4x + 3x – 2 =
Fai un raccoglimento parziale tra i termini
= 2x · (3x – 2) + 1 · (3x – 2)=
= (3x – 2)(2x + 1)

Riconoscere lo sviluppo del quadrato di un binomio

Lo sviluppo del quadrato di un binomio è:
  • un TRINOMIO (polinomio formato da tre monomi);
  • due dei suoi termini sono il quadrato di qualcosa e sono entrambi positivi o entrambi negativi;
  • il termine che non è un quadrato ha quasi sempre coefficiente pari, se i coefficienti degli altri due termini sono numeri naturali, e può essere sia positivo che negativo.
Se i due quadrati sono negativi:
  • metti un segno –
  • apri una parentesi
  • riscrivi il trinomio cambiato di segno
  • chiudi la parentesi. 
​– b² + 2bc – c² =
= – (b² – 2bc + c²)  
Se il doppio prodotto è
I due termini sono
positivo
concordi
​(entrambi positivi o entrambi negativi)
negativo
discordi
​(uno positivo e l'altro negativo o viceversa)
Se il doppio prodotto è positivo: i termini del binomio sono concordi, o entrambi positivi o entrambi negativi.
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Se il doppio prodotto è negativo: i termini del binomio sono discordi, se il primo termine è positivo il secondo sarà negativo e viceversa.
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La differenza di due quadrati
​è il prodotto di una somma per una differenza

La differenza di due quadrati la riconosci perché hai:
  • due monomi;
  • di cui uno è positivo e l'altro è negativo;
  • ​entrambi sono dei quadrati.
Importante: il numero 1 è uguale al quadrato di 1.
La scomposizione della differenza di due quadrati è uguale a:
  • il prodotto di un binomio concorde per lo stesso binomio ma discorde;
  • ciascun monomio nel binomio è uguale rispettivamente alla radice quadrata dei due monomi nella differenza, presi in valore assoluto.
Nella differenza dei due quadrati:
  • il termine positivo sarà presente nei due binomi sempre con lo stesso segno (o positivo o negativo);
  • il termine negativo sarà presente nei due binomi con segno opposto. 
Foto

Scomposizione della somma di due cubi

Se hai di fronte un binomio concorde positivo e entrambi i termini sono dei cubi, la loro scomposizione sarà:
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Se hai un binomio concorde negativo e entrambi i termini sono dei cubi, metti in evidenza il segno meno e scomponi come sopra. ​

Scomposizione della differenza di due cubi

Se hai di fronte un binomio discorde e entrambi i termini sono dei cubi, la loro scomposizione sarà:
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Scomposizione di binomi particolari

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Se n è pari
Non si può scomporre per avere radici razionali
Se n è multiplo di 4 esiste una formula per poterlo scomporre che deriva dal completamento di un quadrato.
Se n è dispari
È divisibile per la somma delle basi
Foto
Se n è pari
È divisibile sia per la somma sia per la differenza delle basi
Se n è dispari
È divisibile solo per la differenza delle basi
Risoluzione di un caso particolare
(verrà poi approfondito negli studi universitari o in classe nei licei scientifici - si chiama il completamento del quadrato):
x⁴ + 4 = 
= x⁴ + 4 + 4x² – 4x² = 
= (x⁴ + 4 + 4x²) – 4x² = 
= (x² + 2)² – (2x)² = 
= (x² + 2 + 2x)(x² + 2 – 2x)
Sembra il quadrato di un binomio ma manca il doppio prodotto, così aggiungiamo il doppio prodotto e togliamo il doppio prodotto.
Otteniamo così la differenza di due quadrati.

Scomposizione col metodo di Ruffini

⚠ IN ELABORAZIONE
Il metodo di Ruffini si applica a polinomi a coefficienti interi. 
Grazie al metodo di Ruffini siamo in grado di scomporre qualunque tipo di polinomio i cui zeri sono numeri interi o razionali.
​Il polinomio deve essere ridotto in forma normale.
Cerchiamo gli zeri del polinomio, cioè quei numeri che sostituiti all'incognita rendono zero il valore del polinomio.
Divisori interi o razionali possibili:
individuo nel polinomio il coefficiente dell'incognita di maggiore grado e il termine noto;
± i divisori del termine noto;
± i divisori del coeff. dell'incognita di maggiore grado diviso i divisori del termine noto.
⚠ Se il coefficiente dell'incognita di maggiore grado è uguale a 1, gli zeri razionali sono numeri interi.

MCD e mcm di polinomi

⚠ IN ELABORAZIONE

Contatore inserito il 22 luglio 2021

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