​PAGINA IN FASE DI ELABORAZIONE

SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO

Scomporre un polinomio vuol dire riscrivere il polinomio come prodotto di monomi e polinomi più piccoli a loro volta non scomponibili.
In pratica vuol dire cercare di capire quali prodotti tra polinomi o tra monomi hanno generato il polinomio che si intende scomporre.
Non sono scomponibili:
- la somma di due quadrati;
- quei polinomi di secondo grado il cui delta è minore di zero.

Raccoglimento totale a fattor comune o la messa in evidenza

Scomporre a fattore comune vuol dire calcolare il MCD tra i monomi di un polinomio e moltiplicare così il MCD per tutto ciò che non è in comune nel polinomio.
Ecco passo a passo come procedo:
  • scompongo tutti i coefficienti (i numeri).
  • Che cos’hanno tutti quanti in comune? Hai trovato il MCD tra i monomi del polinomio.
  • Moltiplica il MCD per il polinomio e dividi ciascun monomio per il loro MCD lasciando il polinomio dentro una parentesi.
  • Scrivi il MCD;
  • apri una parentesi;
  • scrivi i risultati delle singoli divisioni (tutto ciò che non è presente nel MCD);
  • chiudo la parentesi.
Ricorda: se il MCD coincide con un monomio, dentro la parentesi dovrò mettere 1 al posto del monomio coincidente con il MCD.
Ecco passo a passo come procedo:
  • scompongo tutti i coefficienti (i numeri).
  • Che cos’hanno tutti quanti in comune? Hai trovato il MCD tra i monomi del polinomio.
  • Moltiplica il MCD per il polinomio e dividi ciascun monomio per il loro MCD lasciando il polinomio dentro una parentesi.
  • Scrivi il MCD;
  • apri una parentesi;
  • scrivi i risultati delle singoli divisioni (tutto ciò che non è presente nel MCD);
  • chiudo la parentesi.

Raccoglimento parziale

Quando ci troviamo di fronte ad un polinomio (composto da un numero non primo di monomi), talvolta non è possibile fare un raccoglimento totale ma possiamo notare che è possibile fare un raccoglimento parziale, cioè vedere se dei termini, a gruppi di 2 o di 3 o anche più, hanno in comune dei fattori. 
Il raccoglimento totale è il primo metodo da usare quando dobbiamo scomporre un polinomio.
Vogliamo scomporre la seguente somma algebrica:
  • esiste un fattore (numero o lettera) comune a tutti i monomi?
NO
  • Essendo un quadrinomio possono essere fatti solo gruppi di 2 monomi, la domanda è: ci sono due monomi che hanno in comune uno o più fattori?
sì, il primo e il terzo monomio
  • Fai un raccoglimento tra il primo e il terzo monomio
  • Prendi gli altri due monomi e fai un raccoglimento
ho messo in evidenza il – perché entrambi i monomi sono negativi   
  • Sostituisci alle due coppie di monomi la loro scomposizione
  • Che cos’hanno in comune le due scomposizioni?
l’elemento tra parentesi →
  • Riscrivi l’elemento comune alle due scomposizioni e moltiplicalo per gli elementi non comuni alle due scomposizioni (ma comuni a ciascuna coppia presa inizialmente)
ora hai scomposto il quadrinomio usando la scomposizione parziale
Vogliamo scomporre la seguente somma algebrica:
2ab – 8a + 2b – 8 + 2bc – 8c
  • Esiste un fattore (numero o lettera) comune a tutti i monomi?
SÌ
  • Fai un raccoglimento totale
  • Essendo un polinomio composto da 6 monomi possiamo considerare gruppi di 2 o di 3 monomi.
  • Sottolinea i monomi che intendi prendere in considerazione
  • Applica un raccoglimento tra i termini considerati
  • Scrivi il termine in comune a tutti
  • Scrivi l’elemento comune ai due raccoglimenti parziali
  • Dentro una parentesi scrivi gli elementi non comuni ai raccoglimenti parziali
​Vi propongo nel video  alcuni esempi, che spero possano essere di vostro aiuto.

Riconoscere lo sviluppo del quadrato di un binomio

Lo sviluppo del quadrato di un binomio è:
  • un TRINOMIO (polinomio formato da tre monomi);
  • due dei suoi termini sono il quadrato di qualcosa e sono entrambi positivi o entrambi negativi;
  • il termine che non è un quadrato ha quasi sempre coefficiente pari, se i coefficienti degli altri due termini sono numeri naturali, e può essere sia positivo che negativo.
Se i due quadrati sono negativi:
  • metti un segno –
  • apri una parentesi
  • riscrivi il trinomio cambiato di segno
  • chiudi la parentesi. 


​– b² + 2bc – c² =
= – (b² – 2bc + c²)  
Se il doppio prodotto è positivo: i termini del binomio sono concordi, o entrambi positivi o entrambi negativi.
Se il doppio prodotto è negativo: i termini del binomio sono discordi, se il primo termine è positivo il secondo sarà negativo e viceversa.

La differenza di due quadrati
​è il prodotto di una somma per una differenza

La differenza di due quadrati la riconosci perché hai:
  • due monomi;
  • di cui uno è positivo e l'altro è negativo;
  • ​entrambi sono dei quadrati.
Importante: il numero 1 è uguale al quadrato di 1.
Come opero:
  1. apro una parentesi e ci metto un segno + e poi la chiudo
  2. apro una seconda parentesi e ci metto un segno - e poi la chiudo (vedi disegno sotto)
  3. metto come primo termine (parte viola) in ogni parentesi ciascun fattore del monomio positivo con tutti gli esponenti tagliati a metà
  4. metto come secondo termine (parte rossa) in ciascuna parentesi ogni fattore del monomio negativo con tutti gli esponenti tagliati a metà.

Trinomio particolare

Siamo di fronte a:
- un trinomio;
​- due monomi hanno le lettere con esponente uno il doppio dell'altro
- il terzo termine è un numero.

Scomposizione con Ruffini

Grazie al metodo di Ruffini siamo in grado di scomporre qualunque tipo di polinomio.
​Il polinomio deve essere ridotto in forma normale.
Cerchiamo li zeri del polinomio, cioè quei numeri che sostituiti all'incognita rendono zero il valore del polinomio.
Divisori interi o razionali possibili:
individuo nel polinomio il coefficiente dell'incognita di maggiore grado e il termine noto;
+- i divisori del termine noto;
+- i divisori del coeff. dell'incognita di maggiore grado diviso i divisori del termine noto.
Contatore inserito il 22 luglio 2021