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SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO
Scomporre un polinomio vuol dire riscrivere il polinomio come prodotto di monomi e polinomi più piccoli a loro volta non scomponibili.
In pratica vuol dire cercare di capire quali prodotti tra polinomi o tra monomi hanno generato il polinomio che si intende scomporre.
In pratica vuol dire cercare di capire quali prodotti tra polinomi o tra monomi hanno generato il polinomio che si intende scomporre.
x⁵ – x⁴ – 7x³ + x² + 6x = x (x –3)(x – 1)(x + 1)(x + 2)
polinomio scomposizione
polinomio scomposizione
Non sono scomponibili:
- la somma di due quadrati;
- xⁿ + yⁿ → se n è pari
- quei polinomi di secondo grado il cui delta è minore di zero.
Raccoglimento totale a fattor comune o la messa in evidenza
Scomporre a fattore comune vuol dire calcolare il MCD tra i monomi di un polinomio e moltiplicare così il MCD per tutto ciò che non è in comune nel polinomio.
Supponiamo di voler scomporre il seguente polinomio: 15 x²y – 20 axy + 35 x⁴y²
- scompongo tutti i coefficienti (i numeri).
= 3 · 5 · x²y – 2² · 5 · a x y + 5 · 7 x⁴ y² =
- Che cos’hanno tutti quanti in comune? Hai trovato il MCD tra i monomi del polinomio.
5 xy = MCD
- Moltiplica il MCD per il polinomio e dividi ciascun monomio del polinomio per il loro MCD lasciando il polinomio dentro una parentesi.
= 5 xy (15 x²y : 5 xy – 20 a x y : 5 xy + 35 x⁴y² : 5 xy) =
= 5 xy (3 x – 4 y + 7 x³) =
- Scrivi il MCD;
apri una parentesi;
scrivi i risultati delle singoli divisioni (tutto ciò che non è presente nel MCD);
chiudo la parentesi.
= 5 xy [(15 x²y : 5 xy) – (20 a x y : 5 xy) + (35 x⁴y² : 5 xy)] =
= 5 xy (3 x – 4 y + 7 x³) hai trovato il tuo polinomio scomposto
Ricorda: se il MCD coincide con un monomio, dentro la parentesi dovrò mettere 1 al posto del monomio coincidente con il MCD.
12 a⁴b² – 8 a²b + 2 a² =
calcoliamo ciò che hanno tutti i monomi in comune
12=2² · 3 8=2³ 2=2 → 2 a² = MCD
scrivi il MCD → apri una parentesi → riscrivi il polinomio e dividi ciascun termine per il MCD
2 a² [(12 a⁴b² : 2 a²) – (8 a²b : 2 a²) + (2 a² : 2 a²)] =
= 2 a² (6 a²b² – 4b + 1)
calcoliamo ciò che hanno tutti i monomi in comune
12=2² · 3 8=2³ 2=2 → 2 a² = MCD
scrivi il MCD → apri una parentesi → riscrivi il polinomio e dividi ciascun termine per il MCD
2 a² [(12 a⁴b² : 2 a²) – (8 a²b : 2 a²) + (2 a² : 2 a²)] =
= 2 a² (6 a²b² – 4b + 1)
Raccoglimento parziale
Quando ci troviamo di fronte ad un polinomio (composto da un numero non primo di monomi), talvolta non è possibile fare un raccoglimento totale ma possiamo notare che è possibile fare un raccoglimento parziale, cioè vedere se dei termini, a gruppi di 2 o di 3 o anche più, hanno in comune dei fattori.
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Il raccoglimento totale è il primo metodo da usare quando dobbiamo scomporre un polinomio. |
Vogliamo scomporre la seguente somma algebrica: 3a²b – 2a + 12ab – 8 =
- esiste un fattore (numero o lettera) comune a tutti i monomi? NO
- Essendo un quadrinomio possono essere fatti solo gruppi di 2 monomi, la domanda è: ci sono due monomi che hanno in comune uno o più fattori?
Sì, il primo e il terzo monomio:
3a²b e 12ab
- Fai un raccoglimento tra il primo e il terzo monomio
3a²b + 12ab = 3ab (a + 4)
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- Sostituisci alle due coppie di monomi la loro scomposizione
3a²b + 12ab – 2a – 8 =
= 3ab (a + 4) – 2 (a + 4)
- Che cos’hanno in comune le due scomposizioni?
l’elemento tra parentesi → (a + 4)
- Riscrivi l’elemento comune alle due scomposizioni e moltiplicalo per gli elementi non comuni alle due scomposizioni (ma comuni a ciascuna coppia presa inizialmente)
(a + 4)(3ab – 2)
Ora hai scomposto il quadrinomio usando la scomposizione parziale
Vogliamo scomporre la seguente somma algebrica:
2ab – 8a + 2b – 8 + 2bc – 8c
- Esiste un fattore (numero o lettera) comune a tutti i monomi? Sì
2ab – 8a + 2b – 8 + 2bc – 8c
- Fai un raccoglimento totale
2 (ab – 4a + b – 4 + bc – 4c)
- Essendo un polinomio composto da 6 monomi possiamo considerare gruppi di 2 o di 3 monomi.
- Sottolinea i monomi che intendi prendere in considerazione
2 (ab – 4a + b – 4 + bc – 4c) =
= 2 (ab + b + bc – 4a – 4 – 4c) =
- Applica un raccoglimento tra i termini considerati
ab + b + bc = b (a + 1 + c)
– 4a – 4 – 4c = – 4a (a + 1 + c)
- Scrivi il termine in comune a tutti
- Scrivi l’elemento comune ai due raccoglimenti parziali
- Dentro una parentesi scrivi gli elementi non comuni ai raccoglimenti parziali
2 (a + 1 + c)(b – 4a)
Vi propongo nel video alcuni esempi, che spero possano essere di vostro aiuto.
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Scomposizione di un trinomio caratteristico o particolare
Il trinomio particolare è un trinomio nel quale, messo in ordine:
- il primo termine è un quadrato con coefficiente 1;
- mentre il secondo termine è data dalla loro somma o la loro differenza degli stessi due termini;
- il termine noto può essere visto come il prodotto di due numeri.
Nel trinomio vengono individuati due termini:
- somma (perché si tratta di una somma algebrica) → valore del coefficiente del secondo termine
- prodotto → valore del termine noto
Per svolgere questa scomposizione è necessario che si individuino due numeri relativi tali che: la loro somma dia il coefficiente del secondo termine, mentre il loro prodotto dia il valore del termine noto.
Il risultato della scomposizione è uguale al prodotto di due binomi, così composti:
- l'incognita e il primo numero;
- l'incognita e il secondo numero.
x² + (a + b)x + (a · b) =
= (x + a)(x + b)
= (x + a)(x + b)
Prodotto |
Somma |
Caratteristiche dei due numeri |
Esempi |
Positivo |
Positiva |
Concordi positivi |
x² + 5x + 4 = = x² + (4 + 1)x + (4 · 1)= = (x + 4)(x + 1) |
Positivo |
Negativa |
Concordi negativi |
x² – 5x + 4 = = x² – (4 + 1)x + (4 · 1) = = (x – 4)(x – 1) |
Negativo |
Positiva |
Discordi, il maggiore è positivo |
x² + 2x – 15 = = x² + (5 – 3)x – (5 · 3) = = (x + 5)(x – 3) |
Negativo |
Negativa |
Discordi, il maggiore è negativo |
x² – 2x – 15 = = x² – (5 – 3)x – (5 · 3) = = (x – 5)(x + 3) |
Lo svolgimento della scomposizione può essere svolta in due modi differenti:
- uno è quello indicato negli esempi;
- l'altro è quello di distribuire l'incognita ai termini individuati nella somma e fare poi un raccogliemento parziale.
Trinomio riconducibile ad un trinomio particolare
(o caratteristico)
Alcuni trinomi non possono essere definititi caratteristici perché il coefficiente del termine al quadrato è diverso da 1, ma sarà comunque possibile scomporlo attraverso altre strategie.
Con il trinomio caratteristico ha in comune:
Con il trinomio caratteristico ha in comune:
- il valore del prodotto = «coefficiente del termine al quadrato» · «il termine noto»;
- il valore della somma (o della differenza) dei valori = coefficiente del secondo termine.
Vogliamo scomporre il seguente trinomio: |
6x² – x – 2 |
Il termine noto è positivo o negativo? Cosa vuol dire? |
Il termine noto è –2 e vuol dire che i due numeri sono discordi |
Quali sono il valore del prodotto e della somma nel trinomio? |
Prodotto = 6 · –2 = –12 Somma = – 1 |
Quali numeri moltiplicati tra loro danno come valore il prodotto? |
12 · 1 = 6 · 2 = 4 · 3 |
Tra le coppie quali la loro differenza (prodotto negativo indica una differenza tra i valori assoluti) dà come valore quello della somma? |
12 - 1 = 11 6 - 2 = 4 4 – 3 = 1 |
Sostituisci alla somma nel trinomio i due valori numerici che hai trovato e distribuisci la x: |
6x² – (4 – 3) x – 2 = = 6x² – 4x + 3x – 2 = |
Fai un raccoglimento parziale tra i termini |
= 2x · (3x – 2) + 1 · (3x – 2)= = (3x – 2)(2x + 1) |
Riconoscere lo sviluppo del quadrato di un binomio
Lo sviluppo del quadrato di un binomio è:
- un TRINOMIO (polinomio formato da tre monomi);
- due dei suoi termini sono il quadrato di qualcosa e sono entrambi positivi o entrambi negativi;
- il termine che non è un quadrato ha quasi sempre coefficiente pari, se i coefficienti degli altri due termini sono numeri naturali, e può essere sia positivo che negativo.
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Se i due quadrati sono negativi:
– b² + 2bc – c² =
= – (b² – 2bc + c²) |
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Se il doppio prodotto è positivo: i termini del binomio sono concordi, o entrambi positivi o entrambi negativi.
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Se il doppio prodotto è negativo: i termini del binomio sono discordi, se il primo termine è positivo il secondo sarà negativo e viceversa.
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La differenza di due quadrati
è il prodotto di una somma per una differenza
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La differenza di due quadrati la riconosci perché hai:
Importante: il numero 1 è uguale al quadrato di 1.
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La scomposizione della differenza di due quadrati è uguale a:
- il prodotto di un binomio concorde per lo stesso binomio ma discorde;
- ciascun monomio nel binomio è uguale rispettivamente alla radice quadrata dei due monomi nella differenza, presi in valore assoluto.
Nella differenza dei due quadrati:
- il termine positivo sarà presente nei due binomi sempre con lo stesso segno (o positivo o negativo);
- il termine negativo sarà presente nei due binomi con segno opposto.
Scomposizione della somma di due cubi
Se hai di fronte un binomio concorde positivo e entrambi i termini sono dei cubi, la loro scomposizione sarà:
Se hai un binomio concorde negativo e entrambi i termini sono dei cubi, metti in evidenza il segno meno e scomponi come sopra.
Scomposizione della differenza di due cubi
Se hai di fronte un binomio discorde e entrambi i termini sono dei cubi, la loro scomposizione sarà:
Scomposizione di binomi particolari
Se n è pari
Non si può scomporre per avere radici razionali Se n è multiplo di 4 esiste una formula per poterlo scomporre che deriva dal completamento di un quadrato. Se n è dispari
È divisibile per la somma delle basi |
Se n è pari
È divisibile sia per la somma sia per la differenza delle basi Se n è dispari
È divisibile solo per la differenza delle basi |
Risoluzione di un caso particolare
(verrà poi approfondito negli studi universitari o in classe nei licei scientifici - si chiama il completamento del quadrato):
(verrà poi approfondito negli studi universitari o in classe nei licei scientifici - si chiama il completamento del quadrato):
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x⁴ + 4 =
= x⁴ + 4 + 4x² – 4x² = = (x⁴ + 4 + 4x²) – 4x² = = (x² + 2)² – (2x)² = = (x² + 2 + 2x)(x² + 2 – 2x) |
Sembra il quadrato di un binomio ma manca il doppio prodotto, così aggiungiamo il doppio prodotto e togliamo il doppio prodotto.
Otteniamo così la differenza di due quadrati. |
Scomposizione col metodo di Ruffini
⚠ IN ELABORAZIONE
Il metodo di Ruffini si applica a polinomi a coefficienti interi.
Grazie al metodo di Ruffini siamo in grado di scomporre qualunque tipo di polinomio i cui zeri sono numeri interi o razionali.
Il polinomio deve essere ridotto in forma normale.
Cerchiamo gli zeri del polinomio, cioè quei numeri che sostituiti all'incognita rendono zero il valore del polinomio.
Divisori interi o razionali possibili:
individuo nel polinomio il coefficiente dell'incognita di maggiore grado e il termine noto;
± i divisori del termine noto;
± i divisori del coeff. dell'incognita di maggiore grado diviso i divisori del termine noto.
Il polinomio deve essere ridotto in forma normale.
Cerchiamo gli zeri del polinomio, cioè quei numeri che sostituiti all'incognita rendono zero il valore del polinomio.
Divisori interi o razionali possibili:
individuo nel polinomio il coefficiente dell'incognita di maggiore grado e il termine noto;
± i divisori del termine noto;
± i divisori del coeff. dell'incognita di maggiore grado diviso i divisori del termine noto.
⚠ Se il coefficiente dell'incognita di maggiore grado è uguale a 1, gli zeri razionali sono numeri interi.
MCD e mcm di polinomi
⚠ IN ELABORAZIONE
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Contatore inserito il 22 luglio 2021
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