Caratteristiche dei polinomi

Si chiama polinomio quell'espressione letterale nella quale compaiono monomi simili e/o non simili sommati o sottratti tra loro.

Sono esempi di polinomi:

ax²

3a + 7 – 4ab + 12a

7x + 4y

b³ – 2by + y⁵

da questo si evince che anche ogni monomio è un polinomio.

Ciascun monomio che compone il polinomio prende il nome di termine del polinomio.
Il termine che non possiede una parte letterale prende il nome di termine noto del polinomio.

13a⁶x + 7 a⁴b³ – 4x²y⁵ – 21

Il polinomio sopra è composto da 4 termini (quadrinomio) e il termine noto è –21.

Il termine noto si chiama in questo modo perché è quel termine del quale si conosce essattamente il suo valore, dunque è noto (conosciuto)monomio, in quanto non accompagnato da nessuna lettera.

In alcuni polinomi possono comparire lettere che nella realtà sono termini noti: come il π che pur essendo una lettera ha un valore ben definito (π = pi-greco = 3,14159265...)

Polinomio in forma normale
Un polinomio è ridotto in forma normale quando non sono presenti monomi simili, cioè quando non è più possibile semplificare monomi tra loro.

3a + 7 – 4ab + 12a
non è ridotto in forma normale
(3 + 12)a + 7 – 4ab =
= 15a + 7 – 4ab
polinomio ridotto in forma normale

Dalla quantità di termini nel polinomio a un nome specifico

Un polinomio, ridotto in forma normale (privo di monomi simili), formato da un massimo di 4 termini viene chiamato monomio, binomio, trinomio e quadrinomio a seconda dei termini cui è composto.

Polinomio formato da:	Il polinomio si chiama:	Esempi
1 termine	monomio	a⁵ –3 4a²b⁵y⁷
2 termini	binomio	x² + y³ 4a – 8b
3 termini	trinomio	b² – 2by + y² ax + by +c
4 termini	quadrinomio	x³ – 3x²y + 3xy² – y³

Grado di un polinomio

In un polinomio, ridotto in forma normale, si ha che:

il grado di un polinomio rispetto ad una lettera è rappresentato dal più grande esponente posseduto dalla lettera nel polinomio;
il grado di un polinomio è rappresentato dal grado massimo posseduto da uno dei termini che lo compongono.

Calcola il grado del seguente polinomio:

4a²xy³ + 5ax – 15a³y

Calcola il grado di ciascun monomio sommando gli esponenti di tutte le lettere presenti (ricorda, se una lettera non ha esponente è sottinteso 1):

4a²xy³ → grado: 2 + 1 + 3 = 6°
+ 5ax → grado: 1 + 1 = 2°
–15 a³y → grado: 3 + 1 = 4°

Infine posso affermare che il grado del polinomio è uguale a 6, perché è il più alto grado posseduto da uno dei monomi che lo compongono.

Polinomi omogenei, ordinati e completi

Polinomio omogeneo

Un polinomio, ridotto in forma normale, si dice omogeneo quando tutti i monomi che lo compongono hanno lo stesso grado.

13a⁶x + 7a⁴b³ – 4x²y⁵

La somma degli esponenti delle lettere in ciascun monomio è 7 = 6 + 1 = 4 + 3 = 2 + 5.

Polinomio ordinato

Un polinomio, ridotto in forma normale, si dice ordinato, rispetto ad una sua lettera, quando gli esponenti della lettera, leggendo i termini del polinomio da sinistra verso destra, sono disposti in ordine crescente o decrescente.

22a⁴y – 4a²xy³ + 5ax

Nell'esempio sopra il polinomio è ordinato secondo le potenze decrescenti di a.

13a⁶x + 7a⁴ + ax³ – 4a² + a⁵

Nell'esempio sopra il polinomio NON è ordinato secondo le potenze di a, in quanto nel leggere il polinomio da sinistra verso destra le potenze di a sono 6 - 4 - 1 - 2 - 5 e non sono ordinate.

Polinomio completo

Un polinomio si dice completo, rispetto ad una lettera, quando dopo averlo ordinato gli esponenti di quella lettera compaiono tutti dal maggiore al minore o viceversa, compreso il termine noto (che sarà il grado zero per la lettera considerata).

31a³x + 7a²x³ – 4ax² – 21x⁴

Nell'esempio sopra il polinomio è sia completo che ordinato secondo la lettera a, infatti andando da sinistra verso destra i suoi esponenti sono 3 - 2 - 1 - 0 (0 quando la lettera a è mancante), mentre per la lettera x non è completo perché i suoi esponenti sono 1 - 3 - 2 - 4 in quanto e tutti i termini del polinomio hanno la lettera x e non c'é un termine senza lettera x.

Polinomi uguali e polinomi opposti

Polinomi uguali

Due o più polinomi, ridotti in forma normale, sono uguali quando hanno lo stesso numero di termini e i termini del primo polinomio, indipendentemente dall’ordine in cui compaiono, compaiono identici nel secondo polinomio.

22a⁴y – 4a²xy³ + 5ax e 5ax + 22a⁴y – 4a²xy³

sono due polinomi uguali, entrambi i polinomi sono formati da 3 termini e ciascun termine del primo polinomio compare nel secondo polinomio.

Polinomi opposti

Due polinomi, ridotti in forma normale, si dicono opposti quando hanno lo stesso numero di termini e i termini del primo polinomio, indipendentemente dall’ordine in cui compaiono, sono opposti a quelli del secondo polinomio.

13a⁶x + 7a⁴ – ax³ – 4a² + a⁵ e – 7a⁴ + 4a² – a⁵ + ax³ – 13a⁶x

sono due polinomi opposti, entrambi i polinomi sono formati da 5 termini e ciascun termine del primo polinomio compare cambiato di segno nel secondo polinomio.

Polinomi come funzioni e zeri del polinomio

Essendo un polinomio un’espressione nella quale compaiono delle lettere, queste possono essere trattate come delle variabili.
I polinomi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto e tra parentesi si indicano le variabili che compaiono.

P(a, x) = 13a⁶x + 7a⁴ – ax³ – 4a² + a⁵ → compaiono le lettere a e x

P(x) = x³ – x² + x – 21 → compare solo la lettera x

È possibile calcolare il valore del polinomio, sostituendo alla variabile il valore che decidi o ti viene chiesto di attribuire.

Supponi di avere il polinomio: P(x) = x³ – x² + x – 21
e di voler calcolare il suo valore quando la x = – 1 e quando la x = 3, vedi cosa succede:

P(–1) = (–1) ³ – (–1)² + (–1) – 21 = – 1 – 1 – 1 – 21 = – 25

P(3) = 3³ – 3² + 3 – 21 = 27 – 9 + 3 – 21 = 30 – 30 = 0

Nel caso in cui sostituisci alla variabile x il valore di – 1, ottieni che il polinomio ha valore – 25.
Nel caso in cui sostituisci alla variabile x il valore di 3, ottieni che il polinomio ha valore 0.

Quando un numero, sostituito alla variabile, rende zero il valore del polinomio, allora si dice che quel numero è uno zero del polinomio o una radice del polinomio.

Contatore inserito il 15 luglio 2021