PROPRIETÀ DEI LOGARITMI
Trovare un logarigmo vuol dire trovare l'esponente da dare alla base del logaritmo per ottenere l'argomento.
Logaritmo in cui base del logaritmo e argomento sono potenze che hanno la stessa base
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Se l'argomento di un logaritmo è una potenza che ha come base la stessa base del logaritmo, l’esponente della potenza è il valore del logaritmo.
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Per definizione: che esponente devo dare a 3 per ottenere il valore di 3⁴?
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Logaritmo avente base e argomento uguali
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Se un logaritmo ha come argomento la base del logaritmo, il valore del logaritmo è 1.
Qualunque numero elevato 1 è uguale a sé stesso, ecco se base del logaritmo e argomento coincidono vuol dire che l’esponente sottinteso è 1. |
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Logaritmo con argomento 1
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Se un logaritmo ha come argomento 1, qualunque sia la base, il suo valore è 0, questo perché qualunque quantità elevata zero da come valore 1.
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Logaritmo di un prodotto
Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma di logaritmi aventi tutti la stessa base e per argomento i singoli fattori del prodotto.
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Quando devo scomporre un logaritmo il cui argomento è un prodotto o può essere scomposto come prodotto, lo riscriviamo come somma di tanti logaritmi quanti sono i fattori che formano la scomposizione, tutti avranno la stessa base e come argomento ciascuno dei fattori della scomposizione.
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Logaritmo di un quoziente
Il logaritmo di un quoziente (di una frazione o di una divisione) è uguale alla differenza di logaritmi aventi tutti la stessa base e per argomento i singoli fattori del prodotto.
Quando devo scomporre un logaritmo di un quoziente o una frazione, lo riscriviamo come differenza di logaritmi aventi la stessa base e come argomento ciascuno dei fattori della scomposizione.
Ricorda: tutto ciò che sta al numeratore deve essere sommato, tutto ciò che sta al denominatore deve essere sottratto.
Logaritmo di una potenza
Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base.
- Scomponi sempre l’argomento del logaritmo,
- scomponi in somme di logaritmi
- scrivi prima del logaritmo l’esponente dell’eventuale potenza
Logaritmo di un radicale
Il logaritmo di un radicale è uguale al a rapporto unitario con denominatore l’indice della radice moltiplicato il logaritmo del radicando.
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Ricorda:
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Se il radicale è una potenza, avremo:
- una frazione moltiplicata il logaritmo
- la frazione ha come numeratore l’esponente della potenza, come denominatore l’indice della radice
- il logaritmo avrà come argomento l'argomento del radicale privato dell'esponente
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Ricorda:
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Trasformare un logaritmo in un altro avente diversa base
Per trasformare un logaritmo in un altro devo:
- Scrivere una frazione tra due logaritmi aventi la nuova base (in genere io scelgo o il numero più piccolo, o il divisore comune)
- Nel numeratore l’argomento sarà lo stesso del vecchio logaritmo;
- Nel denominatore l’argomento sarà la base del vecchio logaritmo
Vediamo un esercizio, nel quale ho:
- cercato un divisore comune tra la base e l'argomento del logaritmo
- riscritto il logaritmo nella base del divisore comune
- scomposto gli argomenti dei due logaritmi
- trasportato fuori dal logaritmo l'esponente della potenza
- semplificato a 1 tutti i logaritmi aventi base e argomento uguale.
Il logaritmo di base 10
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Se nel logaritmo non è espressa la base,
si sottintende 10 se è scritto come log. |
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Logaritmo naturale o neperiano
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Il logaritmo naturale o logaritmo neperiano si scrive ln (l = logaritmo, n = naturale)
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Logaritmo avente per base e argomento due potenze con la
stessa base
Se base e argomento di un logaritmo sono due potenze aventi la stessa base, il valore del logaritmo è:
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Logaritmo con base e argomento due potenze qualunque
Se la base e l'argomento di un logaritmo possono essere scritti (o lo sono già) come delle potenze, potremmo semplificare la scrittura come prodotto di una frazione per un nuovo logaritmo che avrà come nuovi argomenti e basi le basi delle potenze.
Avremo come risultato una frazione moltiplicato un logaritmo che avranno:
- numeratore della frazione: esponente del vecchio argomento
- denominatore della frazione: esponente del vecchio argomento
- argomento del logaritmo: base della potenza del vecchio argomento
- base del logaritmo: base della potenza della vecchia base del logaritmo
Potenza di un logaritmo
La potenza di un logaritmo è uguale al logaritmo elevato stesso esponente della stessa base e stesso argomento.
Quando ci si trova alla potenza di un logaritmo in una equazione occorre sostituire il logaritmo con una lettera qualunque e risolvere così l’equazione di grado superiore al primo.
contatore inserito il 22 maggio 2021