Criteri di divisibilità

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I criteri di divisibilità sono uno strumento davvero utile che permette di capire se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione.
Dalla scuola elementare abbiamo appreso che un numero è divisibile per un altro quando eseguita ci dà come risultato un numero intero, senza avere resto.

2	Un numero è divisibile per 2 quando: finisce con 0, 2, 4, 6 o 8 è pari (il che è la stessa cosa dell'affermazione precedente) 😉. 352 è pari perché finisce con 2 dunque è divisibile per 2 101 è dispari, dunque NON è divisibile per 2

Un numero è divisibile per 3 quando:

ciascuna cifra è 0, 3, 6 oppure 9
609 è divisibile per 3 (ogni cifra è 0, 3, 6 o 9)
se escludo le cifre 0, 3, 6, 9 e faccio la somma delle rimanenti, il risultato sarà 3, 6 o 9
642 tolgo il 6, faccio 4+2=6 allora 642 è divisibile per 3
la somma di tutte le cifre, continuata* fino ad ottenere solo una cifra, è 3, 6 o 9
9681 → 9+6+8+1=24 → 2+4=6 9681 è divisibile per 3
*continuata vuol dire che applico la regola anche al risultato

Un numero è divisibile per 4 quando:

alla cifra delle decine pari è associata l’unità** 0, 4 – 8
alla cifra delle decine dispari l’unità** è 2 o 6

964 → 6 = cifra decine pari, unità 4
è divisibile per 4, infatti 964 : 4 = 241
4736 → 3 = cifra decine dispari, unità 6
è divisibile per 4, infatti 4736 : 4 = 1184
754 → 5 = cifra decine dispari unità 4
non è divisibile per 4, infatti 754 : 4 = 188 resto 2

**unità: l'ultima cifra di un numero intero

5	Un numero è divisibile per 5 quando: la cifra delle unità è 0 o 5 (cioè quando finisce con 0 o 5). 545 termina con 5 → è divisibile per 5 → 545:5=109 resto 0 820 termina con 0 → è divisibile per 5 → 820:5=164 resto 0 238 termina con 8 → non è divisibile per 5 → 238:5=47 resto 3

Un numero è divisibile per 6 quando:

è divisibile sia per 2 che per 3

582 è pari ed è anche divisibile per 3
è divisibile per 6 → 582:6=97
920 è pari ma non è divisibile per 3
non è divisibile per 6 → 920:6=153 resto 2
363 è dispari ma è divisibile per 3
non è divisibile per 6 → 363=60 resto 3

Un numero è divisibile per 7 quando:

tutto il numero privato dell'unità - (2 x l'unità) = 0,7,14,...

105 → 10 - (2x5) = 10 - 10 = 0 → è divisibile per 7 → 105:7=15
259 → 25 - (2x9) = 25 - 18 = 7 → è divisibile per 7 → 259:7=37
208 → 50 - (2x8) = 20 - 16 = 6 → non è divisibile per 7
208:7=29 resto 5

Un numero è divisibile per 9 quando:

ciascuna cifra è 0 o 9
909 è o 0 o 9 → 909 è divisibile per 9
se escludo le cifre 0 e 9 e faccio la somma delle rimanenti cifre, il risultato sarà 9, 18, 27, 36, ...
198 tolgo il 9 dalla somma → 1+8=9 → 198 è divisibile per 3
la somma di tutte le cifre, continuata fino ad ottenere solo una cifra, è 3, 6 o 9
9684 → 9+6+8+4=27 → 2+7=9 → 9684 è divisibile per 9

10	Un numero è divisibile per 10 quando finisce con 0 480 → unità 0 → è divisibile per 10 1915 → unità 5 → non è divisibile per 10

Un numero è divisibile per 11 quando:

somma cifre di posto pari - somma cifre di posto dispari
somma cifre di posto dispari - somma cifre di posto pari

darà come risultato 0, 11, 22, 33, 44, ...

625834 → (6+5+3)-(2+8+4) = 14-14 = 0 → 625834 è divisibile per 11
28061 → (2+0+1)-(8+6) = 3-14 non si può fare, allora farò
14-3 = 11 → 28061 è divisibile per 11

12	Un numero è divisibile per 12 quando: è divisibile sia per 3 che per 4 è divisibile per 3 e due volte per 2

Un numero è divisibile per 13 quando:

tutto il numero privato dell'unità + (4 x l'unità)

darà come risultato 13, 26, 39, 52, ...

7306 → 730 + 4 x 6 = 730 + 24 = 754 → applichiamo la formula a 754
754 → 75 + 4 x 4 = 75 + 16 = 91 → ora la formula a 91
91 → 9 + 4 x 1 = 9 + 4 = 13 → 7306 è divisibile per 13

14	Un numero è divisibile per 7 quando è divisibile sia per 2 che per 7 quando è divisibile per 7 ed è pari

15	Un numero è divisibile per 15 quando è divisibile sia per 3 che per 5

Un numero è divisibile per 17 quando

tutto il numero privato dell'unità - (5 x l'unità)
(5 x l'unità) - tutto il numero privato dell'unità

daranno come risultato 0,17,34,51, ...

2584 → 258 - (5x4) = 258 - 20 = 238 →
238 → 23 - (5x8) = 23 - 40 → non si può fare
facciamo il contrario → 40 - 23 = 17
2584 allora è divisibile per 17

18	Un numero è divisibile per 18 quando è divisibile sia per 2 che per 9 è pari ed è divisibile per 9

19	Un numero è divisibile per 19 quando: tutto il numero privato dell'unità + (2 x l'unità) dà come risultato 0,19,38,57,76, ... 532 → 53 + (2x2) = 53 + 4 = 57 volendo si può riapplicare la formula al risultato 57 57 → 5 - (2x7) = 5 + 14 = 19 532 è divisibile per 19 → 532:19=28

20	Un numero è divisibile per 20 quando è divisibile sia per 4 che per 5 è divisibile per 5 e due volte per 2 finisce con 0 e ha la cifra delle decine pari

21	Un numero è divisibile per 21 quando è divisibile sia per 3 che per 7

22	Un numero è divisibile per 22 quando è divisibile sia per 2 che per 11 è divisibile per 11 ed è pari

Un numero è divisibile per 23 quando

tutto il numero privato dell'unità + (7 x l'unità)
(7 x l'unità) + tutto il numero privato dell'unità

daranno come risultato 23,46,69, ...

9867 → 986 + (7x7) = 986 + 49 = 1035
2035 → 103 + (7x5) = 103 + 35 = 138
138 → 13 + (7x8) = 13 + 56 = 69
9867 è divisibile per 23

25	Un numero è divisibile per 25 quando termina con 00, 25, 50 o 75

33	Un numero è divisibile per 33 quando è divisibile sia per 3 che per 11

50	Un numero è divisibile per 50 quando termina con 00 o 50

10^n

Un numero è divisibile per 100 quando termina con 2 zeri
Un numero è divisibile per 1'000 quando termina con 3 zeri
Un numero è divisibile per 10'000 quando termina con 4 zeri
Un numero è divisibile per 100'000 quando termina con 5 zeri
Un numero è divisibile per 1'000'000 quando termina con 6 zeri

Criterio generale di divisibilità

Un numero è divisibile per un altro se la scomposizione in fattori primi del numero più piccolo è contenuta nella scomposizione del numero più grande.
Ciò vuol dire che data la scomposizione in fattori primi del numero più piccolo, nel numero più grande avremo tutte le basi presenti con un esponente uguale o maggiore a quelli presenti nel minore.