Mauitaui e la matematica
  • Home
    • Le parole della matematica
    • I lavori di scienze dei miei ragazzi
    • Materiali da stampare
    • Altro >
      • Triangolo di Tartaglia
      • Giochi matematici >
        • Il gioco dei tre numeri
        • Giochi d'autunno
    • Blog >
      • Inventa una storia
      • Libri
      • Film
    • Software & Apps
  • Aritmetica
    • Gli insiemi >
      • Caratteristiche e operazioni
      • I simboli negli insiemi
    • Il numero e i sistemi di numerazione >
      • Il numero e le successioni numeriche
      • Numerazione decimale
      • Numerazione romana
      • Altri sistemi di numerazione
    • Simboli della matematica
    • Le 4 operazioni >
      • L'addizione
      • La sottrazione
      • La Moltiplicazione
      • La Divisione
      • Espressioni con le 4 operazioni
      • I problemi con le 4 operazioni
    • Le potenze >
      • Le proprietà delle potenze e le operazioni con esse
      • Quadrati dei numeri naturali
    • Divisibilità, MCD e mcm >
      • La divisibilità
      • Criteri di divisibilità
      • Scomposizione in fattori primi
      • Massimo Comune Divisore
      • minimo comune multiplo
    • Le frazioni >
      • Le frazioni, caratteristiche
      • Confrontare le frazioni
      • Operazioni con le frazioni >
        • Esercizi
        • Problemi con le frazioni
    • I numeri razionali e le loro frazioni generatrici
    • L'operazione di radice >
      • Radici e proprietà
      • La radice quadrata e la radice cubica
      • Uso delle tavole numeriche
    • Rapporti, proporzioni e loro applicazioni >
      • I rapporti
      • Le proporzioni
      • Cosa sono e come si calcolano
  • Geometria
    • Tangram
    • La misura >
      • La misura e le unità di misura
      • Le equivalenze nel S.I.
      • Le unità di misura non nel S.I.
    • Gli enti primitivi e fondamentali
    • I luoghi geometrici
    • Il piano cartesiano - Punti e segmenti
    • Problemi e linguaggi >
      • Dalle parole alla matematica
      • Trova la misura di due segmenti
    • Gli angoli >
      • Definizione e classificazione
      • Relazione tra gli angoli
      • Operazioni con gli angoli
    • I poligoni >
      • Triangoli >
        • Caratteristiche
        • Classificazione in base ai lati
        • Classificazione in base agli angoli
        • Criteri di congruenza
        • Punti notevoli
      • I quadrilateri
      • Perimetro e area dei poligoni >
        • Perimetro, area e Pitagora >
          • Triangolo scaleno
          • Triangolo rettangolo scaleno
          • Triangolo isoscele
        • Perimetro e area dei quadrilateri
    • Teorema di Pitagora >
      • Enunciato del Teorema di Pitagora
      • Applicazioni del Teorema di Pitagora >
        • Problemi Teorema di Pitagora
    • Euclide
    • La circonferenza e il cerchio >
      • Definizione e caratteristiche
      • Circonferenza e retta
      • Posizione tra due circonferenze
      • Lunghezza circonferenza e area del cerchio
      • Problemi visivi sulla circonferenza e cerchio
  • SUPERIORI
    • Algebra >
      • I numeri relativi
      • Il calcolo letterale >
        • Monomi
        • Polinomi >
          • Caratteristiche dei polinomi
          • Operazioni coi polinomi
          • I prodotti notevoli
          • Divisione di un polinomio per un polinomio
        • Scomposizione di un polinomio
        • MCD e mcm tra polinomi
      • Frazioni algebriche
      • Equazioni primo grado
      • Sistemi di equazioni lineari
      • I radicali >
        • Radici, radicali e proprietà
        • Operazioni coi raqdicali
        • Razionalizzazione
        • Altri esercizi coi radicali
      • Equazioni 2° grado >
        • Caratteristiche e risoluzione di un'eq. 2° grado
        • Equazioni parametriche di II grado
        • Esercizi svolti
      • I logaritmi >
        • Definizione logaritmo
        • Proprietà dei logaritmi
    • Geometria euclidea >
      • Circonferenza e cerchio
    • Geom. analitica >
      • Il piano cartesiano
      • Le isometrie nel piano cartesiano
      • La retta e la sua equazione >
        • Equazione della retta passante per due punti
      • La parabola >
        • Esercizi svolti
    • Goniometria
    • FISICA >
      • La misura >
        • Notazione scientifica e ordine di grandezza
        • Le misure nel S.I.
      • Corpi su un piano inclinato
      • Forze parallele
      • Momento di una forza e le leve
    • Scienze >
      • Moto di rivoluzione e di rotazione terrestre
      • Chimica

Criteri di divisibilità

👉
I criteri di divisibilità sono uno strumento davvero utile che permette di capire se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione.
Dalla scuola elementare abbiamo appreso che un numero è divisibile per un altro quando, eseguita la divisione, ci dà come risultato un numero intero, senza avere resto.
Foto
2
Un numero è divisibile per 2 quando:
  • finisce con 0, 2, 4, 6 o 8
  • è pari (il che è la stessa cosa dell'affermazione precedente) 😉.
352 è pari perché finisce con 2 dunque è divisibile per 2
101 è dispari, dunque NON è divisibile per 2
​3
Un numero è divisibile per 3 quando:
  • ciascuna cifra è 0, 3, 6 oppure 9
    609 è divisibile per 3 (ogni cifra è 0, 3, 6 o 9)
  • se escludo le cifre 0, 3, 6, 9 e faccio la somma delle rimanenti, il risultato sarà 3, 6 o 9
    642 tolgo il 6, faccio 4+2=6 allora 642 è divisibile per 3
  • la somma di tutte le cifre, continuata*  fino ad ottenere solo una cifra, è 3, 6 o 9
    9681 → 9+6+8+1=24 → 2+4=6 9681 è divisibile per 3 
    *continuata vuol dire che applico la regola anche al risultato
4
Un numero è divisibile per 4 quando:
  • alla cifra delle decine pari è associata l’unità** 0, 4 – 8
  • alla cifra delle decine dispari l’unità** è 2 o 6

964 → 6 = cifra decine pari, unità 4
           è divisibile per 4, infatti      964 : 4 = 241
4736 → 3 = cifra decine dispari, unità 6 
           è divisibile per 4, infatti      4736 : 4 = 1184
754 → 5 = cifra decine dispari   unità 4
           non è divisibile per 4, infatti  754 : 4 = 188 resto 2
​
**unità: l'ultima cifra di un numero intero
5
Un numero è divisibile per 5 quando:
  • la cifra delle unità è 0 o 5 (cioè quando finisce con 0 o 5).

545 termina con 5 →   è divisibile per 5  → 545:5=109 resto 0
820 termina con 0 → è divisibile per 5 → 820:5=164 resto 0
238 termina con 8 → non è divisibile per 5 → 238:5=47 resto 3
6
Un numero è divisibile per 6 quando:
  • è divisibile sia per 2 che per 3   (contemporaneamente divisibile per   2  e per 3)
NUMERO
È PARI?
È DIVISIBILE PER 3?
È DIVISIBILE PER 6?
SE LE DUE CASELLE PRIMA SONO ENTRAMBE SÌ
VERIFICA
582
sì
sì
sì
582 : 6 = 97    R=0
920
sì
no
sì
920 : 6 = 153    R=2
363
no
sì
sì
​363 : 6 = 60    R=3
7
Un numero è divisibile per 7 quando:
  • tutto il numero privato dell'unità – (2 · la cifra dell'unità) = 0 o 7 o 14 o ...
  • se il risultato della sottrazione è molto grande posso continuare a fare la differenza anche al risultato
NUMERO
APPLICO LA REGOLA
RISULTATO E VERIFICA
105
​105 ​ → ​10–(2·5)=10–10=0
è divisibile per 7 → 105 : 7 = 15   R=0​
259
259  → 25 – (2·9) = 25 – 18 = 7 
è divisibile per 7 → 259 : 7 = 37    R=0
508
​508  →​ 50 – (2·8) = 50 – 16 = 34
non è divisibile per 7 → 508 : 7 = 72 R=4 
Un numero è divisibile per 7 quando (questo metodo è stato scoperto da Chika, un ragazzo di 12 anni nel 2019):
  • tutto il numero privato dell'unità + (5 · 5) = 0 o 7 o 14 o ...
  • se il risultato della sottrazione è molto grande posso continuare a fare la somma anche al risultato.
NUMERO
APPLICO LA REGOLA
VERIFICA
105
​105​ → ​10 + (5·5) = 10 + 25 = 35
è divisibile per 7 → 105 : 7 = 15   R = 0
508
​508 ​ → ​50 + (5·8) = 50 + 40 = 90
​90 ​ → ​9 + (0·5) = 9 + 0 = 9
non è divisibile per 7 → 508 : 7 = 72 R=4 ​
1813
1813 ​ → ​181 + (5·3) = 181 + 15 = 196
​196 ​ → ​19 + (5·6) = 19 + 30 = 49
è divisibile per 7 → 1813 : 7 = 259 R=0 
9
Un numero è divisibile per 9 quando:
  • ciascuna cifra è 0 o 9​
    909 è o 0 o 9 → 909 è divisibile per 9
  • se escludo le cifre 0 e 9 e faccio la somma delle rimanenti cifre, il risultato sarà 9, 18, 27, 36, ...
    198 tolgo il 9 dalla somma → 1+8=9 → 198 è divisibile per 3
  • la somma di tutte le cifre, continuata fino ad ottenere solo una cifra, è 3, 6 o 9: 9684 → 9+6+8+4=27 → 2+7=9 → 9684 è divisibile per 9​
10
Un numero è divisibile per 10 quando finisce con 0
480 → unità 0 → è divisibile per 10
1915 → unità 5 → non è divisibile per 10
11
Un numero è divisibile per 11 quando:
  • ​somma cifre di posto pari - somma cifre di posto dispari 
  • somma cifre di posto dispari - somma cifre di posto pari 
  darà come risultato 0, 11, 22, 33, 44, ...
NUMERO
APPLICO LA REGOLA
RISULTATO E VERIFICA
​625.834
 (6 + 5 + 3) – (2 + 8 + 4) = 14 – 14 = 0
è divisibile per 11 → 625.834 : 11 = 56894   R=0​
28.061
(2 + 0 + 1) – (8 + 6) = 3 – 14 
non si può fare, allora farò

         14 – 3 = 11
è divisibile per 11 → 28061 : 11 = 2551 con resto zero
12
Un numero è divisibile per 12 quando:
  • è divisibile sia per 3 che per 4
  • è divisibile per 3 e due volte per 2

13
Un numero è divisibile per 13 quando:
  • tutto il numero privato dell'unità + (4 · l'unità)
  darà come risultato 13, 26, 39, 52, ...
​
7306 → 730 + 4 x 6 = 730 + 24 = 754 → ​applichiamo la formula a 754
754 → 75 + 4 x 4 = 75 + 16 = 91 → ora la formula a 91
91 → 9 + 4 x 1 = 9 + 4 = 13 → 7306 è divisibile per 13

14
Un numero è divisibile per 14 quando:
  • è divisibile sia per 2 che per 7
  • quando è divisibile per 7 ed è pari

15
Un numero è divisibile per 15 quando
  • è divisibile sia per 3 che per 5

17
Un numero è divisibile per 17 quando
  • tutto il numero privato dell'unità - (5 x l'unità)
  • (5 x l'unità) - tutto il numero privato dell'unità
  daranno come risultato 0,17,34,51, ...
​​
2584 ​→ 258 - (5x4) = 258 - 20 = 238 →
        
238 → 23 - (5x8) = 23 - 40 → non si può fare
        facciamo il contrario → 40 - 23 = 17
        2584 allora è divisibile per 17

Un numero è divisibile per 17 quando
  • tutto il numero privato dell'unità + (12 x l'unità) daranno come risultato 0,17,34,51, ...
​​
2584 ​→ 258 + (12x4) = 258 + 48 = 306
​        
306 → 30 + (12x6) = 30 + 72 = 102
       
102 → 10 + (12x2) = 10 + 24 = 34
        2584 allora è divisibile per 17


18
Un numero è divisibile per 18 quando
  • è divisibile sia per 2 che per 9
  • è pari ed è divisibile per 9

19
Un numero è divisibile per 19 quando:
  • tutto il numero privato dell'unità + (2 x l'unità)
  dà come risultato 0,19,38,57,76, ...
​
532 ​→ 53 + (2x2) = 53 + 4 = 57
    volendo si può riapplicare la formula al risultato 57

    57 → 5 + (2x7) = 5 + 14 = 19
    532 è divisibile per 19 → 532 : 19 = 28



20
Un numero è divisibile per 20 quando
  • è divisibile sia per 4 che per 5
  • è divisibile per 5 e due volte per 2
  • finisce con 0 e ha la cifra delle decine pari

21
Un numero è divisibile per 21 quando
  • è divisibile sia per 3 che per 7

22
Un numero è divisibile per 22 quando
  • è divisibile sia per 2 che per 11
  • è divisibile per 11 ed è pari

23
Un numero è divisibile per 23 quando
  • tutto il numero privato dell'unità + (7 x l'unità)
  • (7 x l'unità) + tutto il numero privato dell'unità
  daranno come risultato 23,46,69, ...
​​
  • 9867 ​→ 986 + (7x7) = 986 + 49 = 1035 → 
    1035 → 103 + (7x5) = 103 + 35 = 138 → 
    138 → 13 + (7x8) = 13 + 56 = 69
    9867 è divisibile per 23

25
Un numero è divisibile per 25 quando
  • termina con 00, 25, 50 o 75

33
Un numero è divisibile per 33 quando
  • è divisibile sia per 3 che per 11

50
Un numero è divisibile per 50 quando
  • termina con 00 o 50

10ⁿ
Un numero è divisibile per 100 quando termina con 2 zeri
Un numero è divisibile per 1'000 quando termina con 3 zeri

Un numero è divisibile per 10'000 quando termina con 4 zeri
Un numero è divisibile per 100'000 quando termina con 5 zeri
Un numero è divisibile per 1'000'000 quando termina con 6 zeri

Criterio generale di divisibilità

​Un numero è divisibile per un altro se la scomposizione in fattori primi del numero più piccolo è contenuta interamente nella scomposizione del numero più grande.
Ciò vuol dire che data la scomposizione in fattori primi del numero più piccolo, nel numero più grande avremo tutte le basi presenti con un esponente uguale o maggiore a quelli presenti nel numero presunto divisore.
14400 è divisibile per 750?
Scomponiamo in fattori primi sia il 14400 che il 750
​La scomposizione del 750 è contenuta nella scomposizione del 14400?


​14400 = 2⁶ · 3² · 5²; 750 = 2 · 3 · 5²

Sì: il 2 e il 3 sono presenti una volta, e il 5 due volte. 

Nel divisore, 750, le basi della sua scomposizione in fattori primi sono presenti in quantità uguale o minore rispetto al dividendo. Possiamo affermare che il 750 è un divisore di 14400.

contatore inserito il 28 aprile 2021

Mauitaui e la matematica - www.mauitaui.org - Prof.ssa Marisa Piras - Cagliari - Italy

Chi sono
Le mie pubblicazioni
Contatore inserito il 28 febbraio 2022
Sito redatto e gestito da Marisa Piras. 
Proudly powered by Weebly
  • Home
    • Le parole della matematica
    • I lavori di scienze dei miei ragazzi
    • Materiali da stampare
    • Altro >
      • Triangolo di Tartaglia
      • Giochi matematici >
        • Il gioco dei tre numeri
        • Giochi d'autunno
    • Blog >
      • Inventa una storia
      • Libri
      • Film
    • Software & Apps
  • Aritmetica
    • Gli insiemi >
      • Caratteristiche e operazioni
      • I simboli negli insiemi
    • Il numero e i sistemi di numerazione >
      • Il numero e le successioni numeriche
      • Numerazione decimale
      • Numerazione romana
      • Altri sistemi di numerazione
    • Simboli della matematica
    • Le 4 operazioni >
      • L'addizione
      • La sottrazione
      • La Moltiplicazione
      • La Divisione
      • Espressioni con le 4 operazioni
      • I problemi con le 4 operazioni
    • Le potenze >
      • Le proprietà delle potenze e le operazioni con esse
      • Quadrati dei numeri naturali
    • Divisibilità, MCD e mcm >
      • La divisibilità
      • Criteri di divisibilità
      • Scomposizione in fattori primi
      • Massimo Comune Divisore
      • minimo comune multiplo
    • Le frazioni >
      • Le frazioni, caratteristiche
      • Confrontare le frazioni
      • Operazioni con le frazioni >
        • Esercizi
        • Problemi con le frazioni
    • I numeri razionali e le loro frazioni generatrici
    • L'operazione di radice >
      • Radici e proprietà
      • La radice quadrata e la radice cubica
      • Uso delle tavole numeriche
    • Rapporti, proporzioni e loro applicazioni >
      • I rapporti
      • Le proporzioni
      • Cosa sono e come si calcolano
  • Geometria
    • Tangram
    • La misura >
      • La misura e le unità di misura
      • Le equivalenze nel S.I.
      • Le unità di misura non nel S.I.
    • Gli enti primitivi e fondamentali
    • I luoghi geometrici
    • Il piano cartesiano - Punti e segmenti
    • Problemi e linguaggi >
      • Dalle parole alla matematica
      • Trova la misura di due segmenti
    • Gli angoli >
      • Definizione e classificazione
      • Relazione tra gli angoli
      • Operazioni con gli angoli
    • I poligoni >
      • Triangoli >
        • Caratteristiche
        • Classificazione in base ai lati
        • Classificazione in base agli angoli
        • Criteri di congruenza
        • Punti notevoli
      • I quadrilateri
      • Perimetro e area dei poligoni >
        • Perimetro, area e Pitagora >
          • Triangolo scaleno
          • Triangolo rettangolo scaleno
          • Triangolo isoscele
        • Perimetro e area dei quadrilateri
    • Teorema di Pitagora >
      • Enunciato del Teorema di Pitagora
      • Applicazioni del Teorema di Pitagora >
        • Problemi Teorema di Pitagora
    • Euclide
    • La circonferenza e il cerchio >
      • Definizione e caratteristiche
      • Circonferenza e retta
      • Posizione tra due circonferenze
      • Lunghezza circonferenza e area del cerchio
      • Problemi visivi sulla circonferenza e cerchio
  • SUPERIORI
    • Algebra >
      • I numeri relativi
      • Il calcolo letterale >
        • Monomi
        • Polinomi >
          • Caratteristiche dei polinomi
          • Operazioni coi polinomi
          • I prodotti notevoli
          • Divisione di un polinomio per un polinomio
        • Scomposizione di un polinomio
        • MCD e mcm tra polinomi
      • Frazioni algebriche
      • Equazioni primo grado
      • Sistemi di equazioni lineari
      • I radicali >
        • Radici, radicali e proprietà
        • Operazioni coi raqdicali
        • Razionalizzazione
        • Altri esercizi coi radicali
      • Equazioni 2° grado >
        • Caratteristiche e risoluzione di un'eq. 2° grado
        • Equazioni parametriche di II grado
        • Esercizi svolti
      • I logaritmi >
        • Definizione logaritmo
        • Proprietà dei logaritmi
    • Geometria euclidea >
      • Circonferenza e cerchio
    • Geom. analitica >
      • Il piano cartesiano
      • Le isometrie nel piano cartesiano
      • La retta e la sua equazione >
        • Equazione della retta passante per due punti
      • La parabola >
        • Esercizi svolti
    • Goniometria
    • FISICA >
      • La misura >
        • Notazione scientifica e ordine di grandezza
        • Le misure nel S.I.
      • Corpi su un piano inclinato
      • Forze parallele
      • Momento di una forza e le leve
    • Scienze >
      • Moto di rivoluzione e di rotazione terrestre
      • Chimica