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I MONOMI

Si chiama monomio quell'espressione letterale, composta da:
  • un numero (naturale, relativo, razionale e/o irrazionale),
  • una lettera o un insieme di lettere (con esponente naturale = con esponente intero e positivo)
  • o da numeri e lettere, il cui legame tra loro sottinteso è di moltiplicazione.
–3ab² = –3·a·b²
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Sono esempi di monomi: ​
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Un monomio si dice intero se la parte letterale ha esponente positivo e si trova al numeratore di una qualsiasi frazione (l'esempio sopra è quello di un monomio intero).
Un monomio che ha come coefficiente un numero razionale (cioè una frazione) non è un monomio frazionario se gli esponenti di tutte le lettere sono numeri interi e positivi.
Un monomio si dice frazionario se almeno una lettera della parte letterale al numeratore ha esponente negativo o si trova al denominatore con esponente positivo. Questo tipo particolare di monomio costituisce una frazione algebrica.
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Ridurre un monomio alla forma normale

Un monomio è ridotto alla forma normale quando:
  • la parte numerica è composta da un numero razionale, irrazionale o un insieme di questi;
  • la parte letterale è formata da potenze aventi tutte come basi lettere tra loro diverse.
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Il monomio non è scritto nella forma normale perché la parte numerica è formata da due numeri razionali e quella letterale è formata da più potenze aventi talvolta la stessa base.
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Scrivi prima tutti i numeri e metti assieme le stesse le stesse basi della parte letterale (in ordine alfabetico) applicando le proprietà delle potenze. ​
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Risolvi sia la parte numerica (coefficiente) che la parte letterale.

Grado di un monomio

Grado di un monomio o grado complessivo di un monomio → la somma degli esponenti di tutte le lettere che formano la parte letterale: 8x³y ha come grado complessivo 3+1 = 4
Grado di un monomio rispetto ad una lettera → l’esponente posseduto dalla lettera considerata.​
I monomi che sono formati da solo la parte numerica, il coefficiente, vengono chiamati termini noti. Il grado di questo monomio particolare è sempre zero. ​
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Monomi simili, opposti e uguali

I monomi simili, opposti e uguali hanno la caratteristica di avere tutti la stessa parte letterale.
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Il valore di un'espressione letterale

Per trovare il valore di un'espressione letterale dobbiamo avere il valore di ciascuna delle incognite (lettere) che compaiono.
Trova il valore della seguente espressione letterale:
4a²xy³ + 5ax – 15 a³y
con a = 1, x = –2, y = –1
  • sostituiamo alla lettera a il valore di 1;
  • sostituiamo alla lettera x il valore di (–2);
  • sostituiamo alla lettera y il valore di (–1);
  • mettiamo in evidenza il segno di moltiplicazione tra i numeri e le lettere all'interno dello stesso monomio;
  • successivamente risolvi l'espressione aritmetica che ne risulta. 
= 4 · 1² · (–2) · (–1)³ + 5 · 1 · (–2) – 15 · 1³ · (–1) =
= 4 · 1 · (–2) · (–1) + 5 · 1 ·(–2) – 15 · 1 · (–1) =
= 8 – 10 + 15 = 23 – 10 = 13

LE OPERAZIONI CON I MONOMI

Somma e differenza tra monomi

Due o più monomi possono essere sommati e/o sottratti tra loro solo se sono simili (hanno stessa parte letterale, sia nel tipo di lettere che nell'esponente abbinato alla lettera).
Si procede in questo modo:
  • per prima cosa mettiamo in evidenza tutti i monomi simili
  • controlla se ci sono monomi opposti e eliminali a vicenda
  • metti in una parentesi i coefficienti appartenenti alla stessa «famiglia» di monomi simili e fuori dalla famiglia indica la parte letterale del monomio di riferimento
  • risolvi le parentesi tonde così come hai visto precedentemente
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monomio 1
monomio 2
monomio 1 + monomio 2
monomio 1 – monomio 2
4a²y³
–3xy³
4a²y³ + (–3xy³)
4a²y³ – (–3xy³)
4a²y³
–3xy³
4a²y³ – 3xy³
4a²y³ + 3xy³
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  • Se i monomi che sommi e/o sottrai sono tra loro tutti simili → ottieni come risultato un unico monomio
  • Se i monomi che sommi e/o sottrai non sono simili → ottieni come risultato un insieme di monomi ​diversi (in quantità uguale o minore alle tipologie di monomi presenti) che si chiama polinomio

Moltiplicare due o più monomi

Posso moltiplicare tra loro sia monomi simili che monomi diversi.
Il risultato del prodotto di due o più monomi tra loro è sempre un monomio.
Moltiplicare due o più monomi equivale a scrivere il monomio in forma normale, in quanto tra numeri e lettere è sottinteso già il segno di moltiplicazione. 
Quando si moltiplicano tra loro due o più monomi occorre: 
4a · (− 5b²) · (− 3a³b) =
  • moltiplica i segni;
  • moltiplica i numeri (valori assoluti dei coefficienti);
  • infine moltiplica la parte letterale usando le proprietà delle potenze (se hanno la stessa base, riscrivi la stessa base e somma gli esponenti).
= (−)(−) · 4 · 5 · 3 · a¹ · a³ · b² · b¹ =


​= + 60 a⁴ b³
Se moltiplichiamo 
Otteniamo come risultato
Esempio
due monomi simili
il prodotto dei coefficienti
e il quadrato della parte letterale

6a³ · 2a³ =
= 6·2 (a
³)² =
​= 12 a
⁶
due monomi uguali
il quadrato di tutto il monomio
(–5x) · (–5x) =
= (–5x)
² =
​= +25x
²
due monomi opposti
il quadrato di tutto il monomio ma negativo
(7y²) · (–7y²) =
= –(7y
²)² =
​= –49y
⁴

Quoziente tra monomi

Un monomio P è divisibile per un altro Q quando il quoziente P : Q è uguale a un altro monomio.
Un monomio Q è divisore di un altro monomio P quando tutte le sue lettere sono contenute nel monomio Q ma con un esponente pari o minore. 
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Si procede in questo modo:
  1. dividi i segni;
  2. dividi i numeri (se non sono divisibili scrivi il risultato come frazione e riducila ai minimi termini);
  3. infine dividi la parte letterale applicando le proprietà delle potenze (se hanno la stessa base, riscrivi la base e sottrai gli esponenti).
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Se dividiamo tra loro
Il risultato è
Esempio
due monomi simili
un numero dato dal quoziente dei due coefficienti
6a³ : 2a³ = 3
due monomi uguali
è uguale a 1
(–5x) : (–5x) = 1
due monomi opposti
è uguale a –1
(7y²) : (–7y²) = –1
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Non tutte le divisioni tra monomi danno come risultato un monomio:
l’operazione di divisione non è interna all’insieme dei monomi. ​

Potenza di un monomio

Il risultato di della potenza di un monomio si ottiene elevando a quella potenza ciascun termine del monomio (sia il coefficiente che la parte letterale). ​
Si procede in questo modo:
  1. Se l’esponente è pari: il risultato è sempre positivo.
    Se l’esponente è dispari: il risultato ha lo stesso segno della base.
  2. Trova il valore della potenza del numero (moltiplica per se stesso il numero quante volte lo indica l’esponente della potenza del monomio);
  3. Fai la potenza di ciascuna lettera che compone la parte letterale del monomio (la potenza di una potenza è uguale ad una potenza che avrà come base la stessa base e avrà come esponente il prodotto degli esponenti).
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La potenza con esponente zero di un monomio è uguale a 1 se e solo se il valore di ciascuna delle lettere presenti nella parte letterale sia imposta come diversa da zero.

MCD tra monomi

Calcolare il MCD vuol dire trovare quei monomi, di grado massimo, capaci di dividere tutti i monomi presenti. Tra i MCD in generale si avrà come:
  • coefficiente   →   1 se almeno un monomio non è intero;
                            →   il MCD di tutti i valori assoluti dei coefficienti se tutti i coefficienti sono interi.
  • parte letterale → prodotto delle lettere comuni a tutti, prese una sola volta, con l’esponente più piccolo presente.
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mcm tra monomi

Calcolare il mcm vuol dire trovare quei monomi, di grado minimo, che sono contemporaneamente multipli di tutti i monomi presenti. Tra i mcm, in generale, si avrà come:
  • coefficiente   → 1 se almeno un monomio non è intero;
                           → il mcm di tutti i valori assoluti dei coefficienti se tutti i coefficienti sono interi.
  • parte letterale → basi comuni e non comuni a tutti, prese una sola volta, con l’esponente più grande presente.
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contatore inserito il 15 luglio 2021

Mauitaui e la matematica - www.mauitaui.org - Prof.ssa Marisa Piras - Cagliari - Italy

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