Equazioni primo grado

LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Si chiama equazione l'uguaglianza di due espressioni di cui almeno una è algebrica.

Equazione di primo grado e sue caratteristiche

Un'equazione si dice di I grado quando, ridotta alla forma normale, l'incognita col grado maggiore è elevato 1. Risolvere un'equazione vuol dire trovare quei valori che sostituiti all’incognita rendono il primo membro uguale al secondo membro.

Forma normale di un’equazione → non sono presenti monomi simili.

Quando un’uguaglianza è un’identità

Se dopo aver risolto entrambe le espressioni in presenti nei due membri e averle ridotte alla forma normale avrai che i due polinomi sono identici l’uguaglianza è un’identità.

(x – 2)² + 2x = (x + 2)(x – 2) + 8
x² + 4 – 2x + 2x = x² – 4 + 8
x² + 4 = x² + 4
è un’identità

In un’identità qualunque valore sostituito all’incognita rende vera l’uguaglianza, per cui le soluzioni possibili sono infinite.
Si dirà che l’equazione è indeterminata.

Diversi tipi di equazioni

Le incognite compaiono solo al numeratore?

Compaiono altre lettere oltre all’incognita?

I valori di un'equazione di primo grado

Equazione determinata

Ha un numero finito di soluzioni.
Anche lo zero può essere una soluzione.

Equazione indeterminata

Qualunque valore rende vera l’equazione → le soluzioni sono infinite
Tutto è semplificato con la legge dell’annullamento.
Il primo membro è uguale al secondo membro.

0x = 0 → 0 = 0

Equazione impossibile

Nessun valore può rendere vera l’equazione.

0x = –2 → 0 = –2

Le x sono tutte eliminate e ottieni che un numero è uguale ad un altro.

I princìpi di equivalenza

Due o più equazioni sono equivalenti se le soluzioni di tutte le equazioni coincidono.

Ogni volta che abbiamo di fronte un’equazione articolata la si può rendere più semplice applicando diversi princìpi:

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA → se a entrambi i membri aggiungiamo o togliamo una stessa quantità (numero o espressione letterale) otteniamo un’equazione equivalente;

2x – 5 = x + 7
togli a entrambi membri una x
2x – 5 – x = x + 7 – x
x – 5 = 7

Regola del trasporto → (deriva dal primo principio di equivalenza) se un monomio viene spostato da una membro all’altro occorre cambiarlo di segno;

2x – 5 = x + 7
sposta al II membro il – 5 e sposta al I membro la x, cambiandoli entrambi di segno
2x – x = 7 + 5
x = 12

Regola dell’annullamento → (deriva dal primo principio di equivalenza) se in entrambi i membri è presente uno stesso monomio è possibile eliminarlo da entrambi ottenendo un’equazione equivalente;

5x + 7 – 7x – 14 = 3x – 14 + 2 – 7x
eliminiamo da entrambi i membri sia il – 7x che il – 14
5x + 7 = 3x + 2

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA → se moltiplico o divido entrambi i membri di un’equazione per una stessa quantità diversa da zero (numero o espressione letterale) si ottiene un’equazione equivalente;

4x – 6 = 14 – 8x
dividiamo entrambi i membri per due perché tutti, tra coefficienti e termini noti, sono numeri pari
(4x – 6) : 2 = (14 – 8x) : 2
2x – 3 = 7 – 4x

Regola del cambiamento di segno → (deriva dal secondo principio di equivalenza) se si cambiano tutti i segni a tutti i termini di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente;

– 3x + 7 = – 14 – 2x
cambiamo di segno ogni singolo monomio che compare nell’equazione
3x – 7 = 14 + 2x