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EQUAZIONI DI 2° GRADO - ESERCIZI

Equazioni parametriche

Quale valore deve assumere m affinché l’equazione ammetta radici reali?
(m − 1)x² − 2mx + 4 = 0               con m − 1 ≠ 0     →      m ≠ 1 sennò non è più di secondo grado
a = m − 1       b = −2m       c = 4
Quale valore deve assumere m affinché l’equazione ammetta radici reali? ∆ ≥ 0
Calcoliamo il valore del delta:
∆ = b² – 4ac = (− 2m)² − 4 · (m − 1) · 4 = 4m² −16m + 16 = 4 (m² − 4m + 4) = 4 (m − 2)²
Quand’è che il delta è maggiore o uguale a zero?
​
∆ ≥ 0 → 4 (m − 2)² ≥ 0 → sempre, perché qualunque quantità al quadrato è sempre positiva o uguale a zero. 
In definitiva: l'equazione ammetterà sempre delle radici reali qualunque valore possa assumere m.
​
Quale valore deve assumere m affinché l’equazione ammetta radici reali?
(5m − 6)x² + 3 = 0      con 5m − 6 ≠ 0      →      m ≠ 6/5   
a = 5m − 6        b = 0       c = 3
Quale valore deve assumere m affinché l’equazione ammetta radici reali? ∆ ≥ 0
Calcoliamo il valore del delta:
∆ = b² – 4ac = 0² − 4 · (5m − 6) · 3 = 12 (−5m + 6)
Quand’è che il delta è maggiore o uguale a zero?
∆ ≥ 0    →    12 (−5m + 3) ≥ 0    →    −5m + 3 ≥ 0    →    5m − 3 ≤ 0    →    m ≤ 3/5
Ciò vuol dire che tutti i valori maggiori di 3/5 non devono essere presi in considerazione perché portano a radici non reali.
Data l’equazione (k − 1)x² + 3kx + k + 1 = 0 determina il parametro k in modo che una delle radici dell’equazione sia uguale a 5.
  1. metti in evidenza i coefficienti a, b e c dell’equazione e calcola il discriminante:
    a = k − 1        b = 3k       c = k + 1
    ∆ = (3k)² − 4·(k − 1)(k + 1) = 9k² − 4 (k² − 1) = 9k² − 4k² + 4 = 5k² + 4
    ∆ ≥ 0    →   5k² + 4 ≥ 0   →   5k² ≥ −4  →  sempre (perché qualunque quadrato è sempre maggiore o uguale a zero, dunque è maggiore di qualunque numero negativo).
  2. Poiché possiamo attribuire a k qualunque valore, sostituisco alla x il valore di 5:
    (k − 1)x² + 3kx + k + 1 = 0   →   (k − 1)·5² + 3k·5 + k + 1 = 0   →   25k − 25 + 15k + k + 1 = 0  →  41k − 24 = 0  →  k = 24/41
Se al parametro k attribuiamo il valore idi 24/41, una delle due radici avrà come valore 5.  
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Pagina creata il 26 dicembre 2022

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