L'ellisse

Si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti del piano che hanno costante la somma delle distanze di un punto dell’ellisse con due punti posti all’interno del piano racchiuso dall’ellisse denominati fuochi.

Asse maggiore = AB  → asse di simmetria che contiene i fuochi;
Asse minore = CD  → asse di simmetria perpendicolare a quello maggiore passante per il suo punto medio;
Distanza focale = F₁F₂ → segmento che unisce i due fuochi.
A, B, C, D → vertici dell’ellisse

Area del piano racchiuso dall’ellisse: πab

0 < eccentricità < 1

Eccentricità = 0
Si tratta di una circonferenza
I fuochi coincidono
a = b → c = 0

Eccentricità = 1
Si tratta del segmento F₁F₂
Asse maggiore = distanza focale
Asse minore = 0

​Ellissi con assi di simmetria appartenenti (∈) agli assi cartesiani

​Equazione normale o canonica di un’ellisse

Vertici → punti di intersezione con gli assi
A₁ (−a; 0), A₂ (a; 0), B₁ (0; −b), B₂ (0; b)

Asse maggiore ∈ all’asse x o delle ascisse

a = semiasse maggiore
b = semiasse minore
c = ​semi-distanza focale

​Asse maggiore ∈ all’asse y o delle ordinate

a = semiasse minore
b = semiasse maggiore
c = ​semi-distanza focale

​L’ellissi e la retta

Per conoscere le posizioni reciproche di un’ellissi e una parabola occorre solo metterle a sistema e trovare l’equazione di secondo grado risolvente: ​

∆ < 0
ellissi e retta sono esterne

∆ = 0
ellissi e retta sono tangenti

​∆ > 0
ellissi e retta sono secanti

Le tangenti all’ellisse se il punto P è esterno all’ellisse

Metti a sistema l’equazione generale dell’ellissi con quella del fascio di rette:

• sostituisci all’equazione dell’ellisse quella del fascio di rette;
• riduci alla forma normale;
• imporre il ∆ = 0 per trovare i due valori di m;
• sostituisci nell’equazione del fascio di rette e risolvi. 

La tangente all’ellisse in un suo punto P

Se il punto appartiene all’ellisse si può usare la seguente formula di sdoppiamento:

​Ellisse traslata

Sia E  l’intersezione tra gli assi dell’ellisse traslata, l’equazione dell’ellissi traslata è:

Pagina creata il 07 agosto 2023