LA GONIOMETRIA
La misura degli angoli in geometria
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Gli angoli vengono misurati in gradi e altre volte in radianti.
Misura in radianti È la lunghezza dell'arco sotteso a un angolo al centro di una circonferenza di raggio uguale a 1. |
Angoli in radianti e in gradi
Lunghezza della circonferenza = 2π · r = 2π · 1 = 2π = 360° Semicirconferenza = 2π : 2 = π = 360° : 2 = 180° Un sesto di semicirconferenza = π : 6 = π/6 = 180° : 6 = 30° Un quarto di semicirconferenza = π : 4 = π/4 = 180° : 4 = 45° Un terzo di semicirconferenza = π : 3 = π/3 = 180° : 3 = 60° Metà semicirconferenza = π : 2 = π/2 = 180° : 2 = 90° ... |
Se dividiamo la circonferenza in 12 parti uguali otteniamo dei settori circolari che sottendono angoli al centro di 30° e archi di π/6.
Se dividiamo la circonferenza in 8 parti uguali otteniamo dei settori circolari che sottendono angoli al centro di 45° e archi di π/4.
Se dividiamo la circonferenza in 6 parti uguali otteniamo dei settori circolari che sottendono angoli al centro di 60° e archi di π/3.
Dalla misura in gradi a quella in radianti e viceversa
Impostiamo la proporzione:
lunghezza arco : lunghezza circonferenza = angolo al centro : angolo giro
αrad : 2π = α° : 360°
lunghezza arco : lunghezza circonferenza = angolo al centro : angolo giro
αrad : 2π = α° : 360°
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Dai gradi ai radianti
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Dai gradi ai radianti
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1° = π/180
2° = π/90 3° = π/60 4° = π/45 5° = π/36 6° = π/30 7° = 7π/180 8° = 2π/45 9° = π/20 10° = π/18 |
11° = 11π/180
12° = π/15 ... 15° = π/12 ... 18° = π/10 ... 20° = π/9 ... 24° = 2 · 12° = 2π/15 |
27° = 3 · 9° = 3π/20
... 30° = π/6 ... 36° = π/5 ... 45° = π/4 ... 60° = π/3 90° = π/2 |
Le funzioni seno e coseno
Coseno → la proiezione del raggio sull'asse delle x (asse delle ascisse)
Seno → la proiezione del raggio sull'asse delle y (asse delle ordinate)
Seno → la proiezione del raggio sull'asse delle y (asse delle ordinate)
Il valore del seno e del coseno di un qualunque angolo è sempre compreso tra -1 e 1, questo vuol dire che se in un'equazione mi viene richiesto quand'è che il "sen x = 3" la risposta è "impossibile", perché il sen x può essere al massimo uguale a 1.
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0° < α < 90°
Coseno positivo Seno positivo 90° < α < 180°
Coseno negativo Seno positivo 180° < α < 270°
Coseno negativo Seno negativo 270° < α < 360°
Coseno positivo Seno negativo |
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Sinusoide
Seno → proiezione del raggio nell’asse delle y
La periodicità della funzione seno è di 2kπ, lo stesso valore del seno si incontra due volte nell’arco della stessa circonferenza, se positivo nel I e II quadrante, se negativo nel III e nel IV quadrante.
La periodicità della funzione seno è di 2kπ, lo stesso valore del seno si incontra due volte nell’arco della stessa circonferenza, se positivo nel I e II quadrante, se negativo nel III e nel IV quadrante.
Cosinusoide
Coseno → proiezione del raggio nell’asse delle x
La periodicità della funzione coseno è di 2kπ, lo stesso valore del coseno si incontra due volte nell’arco della stessa circonferenza, se positivo nel I e IV quadrante, se negativo nel II e nel III quadrante.
La periodicità della funzione coseno è di 2kπ, lo stesso valore del coseno si incontra due volte nell’arco della stessa circonferenza, se positivo nel I e IV quadrante, se negativo nel II e nel III quadrante.
La funzione tangente
Tangente → proiezione sull’asse y del punto di incontro tra il prolungamento del raggio e la tangente nel punto 0°
La periodicità della funzione tangente è di kπ, lo stesso valore della tangente si incontra due volte nell’arco della stessa circonferenza, se positivo nel I e III quadrante, se negativo nel II e nel VI quadrante.
Le funzioni sin x e cos x a confronto
Le funzioni sin x e cos x sono funzioni periodiche con ciclo uguale a 2π, la differenza di fase è uguale a π/2.
I valori di seno, coseno, tangente e cotangente nei diversi quadranti
Gli angoli noti sono (cerca di impararli a memoria):
I pallini nelle circonferenze indicano angoli corrispondenti:
Il segno nel quadrante per ciascuna funzione indica se questa è positiva e negativa.
Le frecce indicano la direzione di percorrenza:
- i pallini rossi indicano gli angoli 0° e 180°;
- i pallini azzurri indicano gli angoli di 30° 180°-30° 180°+30° 360°-30°;
- i pallini viola indicano gli angoli di 45° 180°-45° 180°+45° 360° - 45°;
- i pallini verdi indicano gli angoli di 60° 180°-60° 180°+60° 360°-60°;
- i pallini blu indicano gli angoli di 90° e 270°.
- I pallini con lo stesso colore hanno stesso valore assoluto di seno, coseno, tangente e cotangente.
Il segno nel quadrante per ciascuna funzione indica se questa è positiva e negativa.
Le frecce indicano la direzione di percorrenza:
- il valore del seno va da 0 a 1 nel primo quadrante;
- il valore del coseno va da 1 a 0 nel primo quadrante;
- il valore della tangente va da 0 a indefinita nel primo quadrante;
- il valore della cotangente va da indefinita a 0 nel primo quadrante.
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