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LA GONIOMETRIA

La misura degli angoli in geometria

Gli angoli vengono misurati in gradi e altre volte in radianti.
​
Misura in radianti 
​È la lunghezza dell'arco sotteso a un angolo al centro di una circonferenza di raggio uguale a 1.
Angoli in radianti e in gradi
Lunghezza della circonferenza = 2π · r = 2π · 1 = 2​π = 360°
Semicirconferenza = 2π : 2 = ​π = 360° : 2 = 180°
Un sesto di semicirconferenza = π : 6 = ​π/6 = 180° : 6 = 30°
Un quarto di semicirconferenza = π : 4 = ​π/4 = 180° : 4 = 45°
Un terzo di semicirconferenza = π : 3 = ​π/3 = 180° : 3 = 60°
Metà semicirconferenza = π : 2 = ​π/2 = 180° : 2 = 90° 
...

Se dividiamo la circonferenza in 12 parti uguali otteniamo dei settori circolari ​che sottendono angoli al centro di 30° e archi di π/6.
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Se dividiamo la circonferenza in 8 parti uguali otteniamo dei settori circolari ​che sottendono angoli al centro di 45° e archi di π/4.
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Se dividiamo la circonferenza in 6 parti uguali otteniamo dei settori circolari che sottendono angoli al centro di 60° e archi di π/3.
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 Dalla misura in gradi a quella in radianti e viceversa
Impostiamo la proporzione: 
​lunghezza arco : lunghezza circonferenza = angolo al centro : angolo giro
​αrad : ​​2π = α°  : 360°​
Dai gradi ai radianti
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Dai gradi ai radianti
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1° = π/180
2° = π/90 
3° = π/60 
4° = π/45 
5° = π/36
6° = π/30
7° = 7π/180 
8° = 2π/45
9° = π/20
10° = π/18     
11° = 11π/180
12° = π/15 
...

15° = π/12
... 

18° = π/10
... 

20° = π/9
...
24° = 2 · 12° = 2π/15
​27° = 3 · 9° = 3π/20 
...
30° = π/6

...
36° = π/5

...
45° = π/4​
...
60° = 
π/3​
90° = 
π/2

Le funzioni seno e coseno

Coseno → la proiezione del raggio sull'asse delle x (asse delle ascisse)
Seno → la proiezione del raggio sull'asse delle y (asse delle ordinate)
Il valore del seno e del coseno di un qualunque angolo è sempre compreso tra -1 e 1, questo vuol dire che se in un'equazione mi viene richiesto quand'è che il "sen x = 3" la risposta è "impossibile", perché il sen x può essere al massimo uguale a 1. 
0° < α < 90°
Coseno positivo
Seno positivo
90° < α < 180°
Coseno negativo
Seno positivo
180° < α < 270°
Coseno negativo
Seno negativo
270° < α < 360°
Coseno positivo
Seno negativo

Sinusoide

Seno → proiezione del raggio nell’asse delle y
La periodicità della funzione seno è di 2kπ, lo stesso valore del seno si incontra due volte nell’arco della stessa circonferenza, se positivo nel I e II quadrante, se negativo nel III e nel IV quadrante. ​
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Cosinusoide

Coseno → proiezione del raggio nell’asse delle x
La periodicità della funzione coseno è di 2kπ, lo stesso valore del coseno si incontra due volte nell’arco della stessa circonferenza, se positivo nel I e IV quadrante, se negativo nel II e nel III quadrante. ​
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La funzione tangente

Tangente → proiezione sull’asse y del punto di incontro tra il prolungamento del raggio e la tangente nel punto 0°
La periodicità della funzione tangente è di kπ, lo stesso valore della tangente si incontra due volte nell’arco della stessa circonferenza, se positivo nel I e III quadrante, se negativo nel II e nel VI quadrante. 
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Le funzioni ​sin x e cos x a confronto

Le funzioni sin x e cos x sono funzioni periodiche con ciclo uguale a 2π, la differenza di fase è uguale a π/2.
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I valori di seno, coseno, tangente e cotangente nei diversi quadranti

Gli angoli noti sono (cerca di impararli a memoria): 
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I pallini nelle circonferenze indicano angoli corrispondenti:
  • i pallini rossi indicano gli angoli 0° e 180°; 
  • i pallini azzurri indicano gli angoli di 30°    180°-30°    180°+30°    360°-30°;
  • i pallini viola indicano gli angoli di 45°    180°-45°    180°+45°    360° - 45°;
  • i pallini verdi indicano gli angoli di 60°    180°-60°    180°+60°    360°-60°;
  • i pallini blu indicano gli angoli di 90° e 270°. 
  • I pallini con lo stesso colore hanno stesso valore assoluto di seno, coseno, tangente e cotangente.

Il segno nel quadrante per ciascuna funzione indica se questa è positiva e negativa.

Le frecce indicano la direzione di percorrenza:
  • il valore del seno va da 0 a 1 nel primo quadrante;
  • il valore del coseno va da 1 a 0 nel primo quadrante;
  • il valore della tangente va da 0 a indefinita nel primo quadrante;
  • il valore della cotangente va da indefinita a 0 nel primo quadrante.
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Contatore inserito il 12 marzo 2022                                   Pagina rivista il 26 gennaio 2025

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