LA RETTA E LA SUA EQUAZIONE
L'equazione di una retta
Ogni retta disegnata nel piano cartesiano ha un’equazione che la identifica in modo unico.
Forma esplicita y = mx + q |
Forma implicita ax + by + c = 0 |
|
rette parallele all'asse x |
m = 0 y = q |
a = 0 by + c = 0 |
rette parallele all'asse y |
x = k con k qualunque numero |
b = 0 ax + c = 0 |
rette non parallele agli assi passanti per l'origine |
q = 0 y = mx |
c = 0 ax + by = 0 |
rette non parallele agli assi e non passanti per l'origine |
y = mx + q |
ax + by + c = 0 |
Rette particolari
x = 0 → è l'asse delle y
y = 0 → è l'asse delle x
x = y → è la bisettrice del I e III quadrante
x = -y oppure y = -x → è la bisettrice del II e IV quadrante
y = 0 → è l'asse delle x
x = y → è la bisettrice del I e III quadrante
x = -y oppure y = -x → è la bisettrice del II e IV quadrante
m = coefficiente angolare
Il coefficiente angolare rappresenta l'inclinazione della retta rispetto all'asse x:
- 0 < m < 1 le rette sono considerate poco inclinate, sono "lievi salite";
- m = 1 la retta forma con l'asse delle x positive un angolo di 45°;
- m > 1 le rette sono molto inclinate, tendono ad avvicinarsi all'asse y, sono "salite ripide".
- -1 < m < 0 le rette sono considerate poco inclinate, sono "lievi discese";
- m = -1 la retta forma con l'asse delle x negative un angolo di 45°;
- m < -1 le rette sono molto inclinate, tendono ad avvicinarsi all'asse y, sono "discese ripide".
Dati due punti qualunque della retta A(xA; yA) e B(xB; yB), il coefficiente angolare è:
In una retta passante per l'origine, il coefficiente angolare è uguale al rapporto tra la coordinata y e la coordinata x di qualunque suo punto, escluso quello passante per l'origine: m = yA : xA
L’equazione di una retta generica
Una retta che non è parallela agli assi e non passa per l’origine degli assi cartesiani.
L’equazione generica è scritta in generale in una delle due forme:
L’equazione generica è scritta in generale in una delle due forme:
ax + by + c = 0 → equazione della retta in forma implicita
y = mx + q → equazione della retta in forma esplicita
Per passare dalla forma implicita a quella esplicita basta isolare la y al I membro dell’equazione e poi dividere il secondo membro per il coefficiente della y quando questo è diverso da +1.
Nell’equazione esplicita della retta:
Nell’equazione esplicita della retta:
m → coefficiente angolare
q → intercetta.
Rappresenta il punto nell’asse y che interseca la retta.
Rappresenta il punto nell’asse y che interseca la retta.
Quando pensiamo alla rappresentazione grafica della retta come prima cosa non consideriamo l’intercetta ma le altre informazioni date dal coefficiente angolare, dopo immaginiamo di traslare la retta, senza nessuna rotazione, sino al punto indicato dal punto di intersezione q.
Dall’equazione di una retta alla sua rappresentazione nel piano cartesiano
Se di una retta, o di una qualunque funzione, ho la sua equazione, sostituendo ad una delle due lettere un qualsiasi valore a scelta, siamo in grado di conoscere le coordinate di alcuni dei suoi punti.
In linea generale si compila una tabella di valori nella quale nella prima colonna è dato il valore della x scelto e nella seconda colonna il valore della y calcolato sostituendo la x all’equazione.
Vediamo un esempio: Mettiamo i punti nel piano cartesiano:
In linea generale si compila una tabella di valori nella quale nella prima colonna è dato il valore della x scelto e nella seconda colonna il valore della y calcolato sostituendo la x all’equazione.
Vediamo un esempio: Mettiamo i punti nel piano cartesiano:
