I NUMERI RAZIONALI E LE LORO FRAZIONI GENERATRICI
Un numero razionale è un numero decimale che si ottiene da una divisione:
Anche i numeri naturali sono numeri razionali perché possono essere scritti come frazioni con denominatore uguale a 1. |
I numeri razionali possono essere di tre tipi:
Forma sintetica e forma estesa di un numero razionale
Forma estesa → è quella che compare nella calcolatrice quando calcolo il valore di una divisione. Se il risultato della divisione ha una quantità di cifre decimali tali da riempire tutto il display della calcolatrice, mi devo ricordare di non considerare l’ultima cifra, che può essere approssimata per eccesso e quindi essere ingannevole sull’interpretazione del dato numerico.
Quando eseguo una divisione in colonna ottengo la forma estesa proseguendo la divisione, anche quando le cifre del dividendo sono finite ma il resto è diverso da zero.
Se dopo diversi passaggi il resto della divisione:
Quando eseguo una divisione in colonna ottengo la forma estesa proseguendo la divisione, anche quando le cifre del dividendo sono finite ma il resto è diverso da zero.
Se dopo diversi passaggi il resto della divisione:
- diventa zero, il numero che ottengo ha un numero di cifre decimali limitate;
- non diventa zero, proseguendo la divisione ad un certo punto vedrai ripresentarsi una stessa situazione. Quando questo accade si dice che il numero è periodico e dopo aver scritto alcune cifre, si mettono dei puntini di sospensione, che indicano il loro proseguo.
Le parti di un numero razionale e come si usano nelle frazioni generatrici
Dal numero decimale alla sua frazione generatrice
NUMERATORE
scrivi tutto il numero togli la parte non periodica
(nei decimali limitati non dovrai togliere nulla)
(nei decimali limitati non dovrai togliere nulla)
DENOMINATORE
nei decimali limitati
Un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali
|
nei decimali periodici semplici e misti
Tanti 9 quante sono le cifre periodiche poi
tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo |
VEDIAMO LE FRAZIONI GENERATRICI NEI TRE DIVERSI TIPI DI DECIMALI
Dalla frazione al tipo di decimale senza eseguire la divisione
È possibile prevedere quale tipo di numero darà origine la divisione senza doverla eseguire?
Assolutamente sì. Ma per poterlo capire dovrai:
Assolutamente sì. Ma per poterlo capire dovrai:
- scrivere la divisione come frazione e ridurla ai minimi termini (dividendo entrambi i termini per una stessa quantità diverse da zero e uno, fino a quando non è più possibile), in questo modo dividendo e divisore saranno primi tra loro;
- scomporre in fattori primi il divisore (se hai scritto una divisione) o il denominatore (se hai scritto la divisione come una frazione).
Se il denominatore/divisore scomposto in fattori primi avrà:
Confrontare i numeri razionali dati come decimali o come frazioni
Confrontare numeri decimali limitati tra loro aventi stessa parte intera
Chi è il maggiore tra 5,16 e 5,5?
Confrontare numeri periodici semplici e/o misti aventi stessa parte intera
Dentro la parentesi sono indicate le cifre periodiche.
Chi è il maggiore tra 24,1(6) e 24,(16)?
Confrontare numeri decimali periodici e numeri decimali limitati aventi stessa parte intera
Chi è il maggiore tra 7,5 e 7,(50)?
Confrontare numeri decimali e frazioni
Chi è il maggiore tra 13,7 e 124/9?
|
parte decimale
|
Trasformare una frazione in un numero decimale limitato senza eseguire la divisione
Come abbiamo visto, non tutte le frazioni danno origine a numeri decimali limitati.
Per poter trasformare una frazione in un numero decimale limitato, la frazione, ridotta ai minimi termini deve avere al denominatore un numero che ha, nella sua scomposizione in fattori primi, solo potenze di 2 e/o di 5.
Per poter trasformare una frazione in un numero decimale limitato, la frazione, ridotta ai minimi termini deve avere al denominatore un numero che ha, nella sua scomposizione in fattori primi, solo potenze di 2 e/o di 5.
Supponiamo di avere le seguenti frazioni e di volerle trasformare nei corrispondenti numeri decimali limitati.
2.
|
Il denominatore scomposto è formato solo da potenze di 2 e/o 5?
|
sì
|
no
|
sì
|
3.
|
Se sì moltiplica numeratore e denominatore per una potenza così formata:
|
Le espressioni con i numeri razionali
Espressioni con numeri interi e numeri decimali limitati
Per poter svolgere un’espressione composta sia da numeri interi che da numeri decimali limitati puoi seguire due strade:
- svolgere l’espressione così come hai visto nella classe prima.
- trasformare i numeri decimali limitati nelle loro frazioni generatrici e risolverla come qualunque espressione formata da numeri interi e frazioni.
Espressioni con numeri decimali limitati, periodici e/o frazioni
Per poter svolgere un’espressione composta sia da numeri decimali limitati che da numeri decimali periodici è importante trasformare i numeri decimali nelle loro frazioni generatrici.
Questo è importante perché se lasciassi i numeri decimali limitati e periodici così come sono, la domanda che ti dovresti porre è: quante cifre dovrei prendere in considerazione?
Qualunque sia il numero di cifre che prenderai in considerazione il risultato sarà sempre approssimato.
Il modo più corretto e preciso per svolgere un’espressione con numeri decimali periodici con o senza altri numeri decimali limitati o numeri interi è SEMPRE quello di trasformare i numeri decimali in frazioni e risolvere l’espressione così come hai visto in precedenza.
Questo è importante perché se lasciassi i numeri decimali limitati e periodici così come sono, la domanda che ti dovresti porre è: quante cifre dovrei prendere in considerazione?
Qualunque sia il numero di cifre che prenderai in considerazione il risultato sarà sempre approssimato.
Il modo più corretto e preciso per svolgere un’espressione con numeri decimali periodici con o senza altri numeri decimali limitati o numeri interi è SEMPRE quello di trasformare i numeri decimali in frazioni e risolvere l’espressione così come hai visto in precedenza.