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Pagina in fase di elaborazione

LA PARABOLA

Si chiama parabola quella curva ottenuta dai punti che hanno stessa distanza da una retta ( detta direttrice) e da un punto fisso (che chiameremo fuoco).
Nella parabola possiamo riconoscere:
  • Asse → ciò che divide la parabola in due parti simmetriche
  • Vertice → è il punto di intersezione tra l’asse e la parabola. Se la parabola ha asse verticale il vertice potrà rappresentare il punto di minimo (se ha concavità rivolta verso l’alto) o di massimo (se la concavità è rivolta verso l’alto.
  • Direttrice → retta perpendicolare all’asse che si trova da parte opposta del fuoco rispetto al fuoco e che ha stessa distanza FV.

Quante parabole possono essere rappresentate?

Le parabole che possono essere rappresentate sono infinite, ma nei libri scolastici della scuola superiore si discutono solo i casi nei quali l'asse di simmetria è parallelo ad uno dei due assi.

​Parabola con asse perpendicolare all’asse x (che vuole anche dire parallelo all'asse delle y o delle ordinate)

​L’equazione generale di una parabola con asse parallelo alle ordinate è una funzione di secondo grado la cui formula è:
y = ax² + bx + c
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​Ricorda: Δ = b² – 4ac
Equazione dell’asse
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Equazione della direttrice
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Coordinate del vertice
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Coordinate del fuoco
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​Parabola con asse perpendicolare all’asse y (che vuole anche dire parallelo all'asse delle x o delle ascisse)

​L’equazione generale di una parabola con asse parallelo alle ascisse è una funzione di secondo grado la cui formula è:
x = ay² + by + c
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Le formule sono "quasi" le stesse viste per la parabola con asse alle ordinate, ma con tutti i valori di x e y scambiati di posto.
Equazione dell’asse
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Equazione della direttrice
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Coordinate del vertice
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Coordinate del fuoco
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I coefficienti a, b e c nella parabola con asse parallelo alle ordinate

I coefficienti dell’equazione esplicita di una parabola, oltre a fornici delle informazioni sulle coordinate del vertice, del fuoco, della direttrice e dell’asse, ci danno delle informazioni importanti sulla sua apertura, sul verso della concavità, sulla posizione dell’asse e sui punti di intersezione con l’asse delle ordinate (asse y). ​
Nell'immagine modifica i valori di a, b e c e vedrai come la parabola cambierà.
Il coefficiente a è anche definito apertura, questo perché ci fornisce delle indicazioni sulle caratteristiche generali della parabola (forma e orientamento):
  • più il valore del coefficiente a si avvicina allo 0, sia dalla parte positiva (da +∞ a 0) che dalla parte negativa (da da −∞ a 0), maggiore è l’apertura della parabola; conseguentemente, più a aumenta, in valore assoluto, più stretta sarà la parabola;
  • se il coefficiente a è positivo → la parabola è rivolta verso l’alto (si avrà così un punto di minimo che corrisponde al vertice della parabola, al di sotto del quale la funzione non esiste);
    se il coefficiente a è negativo → la parabola è rivolta verso il basso (si avrà così un punto di massimo che corrisponde al vertice della parabola, al di sopra del quale la funzione non esiste). 
Coefficiente a positivo si traduce nell’avere la concavità rivolta verso l’alto.
La parabola di equazione
y = x² è quella in rosso e la prendiamo come riferimento.
Tutte le parabole con coefficiente maggiore di 1 risultano essere meno aperte.
Tutte le parabole con coefficiente compreso tra 0 e 1 risultano essere molto più aperte. ​
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Coefficiente a negativo si traduce nell’avere la concavità rivolta verso il basso.
La parabola di equazione
y = − x² è quella in rosso e la prendiamo come riferimento.
Tutte le parabole con coefficiente minore di −1 risultano essere meno aperte.
Tutte le parabole con coefficiente compreso tra −1 e 0 risultano essere molto più aperte. ​
Il coefficiente b ci dà indicazioni sulla posizione dell’asse di simmetria:
  • se i coefficienti a e b sono concordi (hanno lo stesso segno) l’asse di simmetria della parabola è interamente contenuto nel semipiano delle ascisse negative;
  • se il coefficiente b è uguale a zero, l’asse di simmetria della parabola coincide con l’asse y;
  • se i coefficienti a e b sono discordi (hanno segno diverso) l’asse di simmetria della parabola è interamente contenuto nel semipiano delle ascisse positive. 
y = 2x² + 2x + 1
a e b concordi
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y = 2x² – 2x + 1
a e b discordi

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y = ​– 2x² + 2x + 1
a e b discordi

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y = ​– 2x² – 2x + 1
​
a e b concordi
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Tutte le parabole disegnate sopra hanno come termine noto c = 1, questo vuol dire che tutte le parabole sopra passano per il punto (0; 1).
Potremmo chiamare il termine noto, come nel caso della retta, è l'intercetta, perché ci dice, per parabole con asse parallelo all’asse y, in quale punto delle ordinate viene intercettata, è secante, la parabola. ​

Parabole particolari

Se b = c = 0 → y = ax²
La parabola ha vertice nell'origine degli assi, conseguentemente l'asse di simmetria è l'asse delle ordinate.
Equazione dell’asse
x = 0
Equazione della direttrice
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Coordinate del vertice
V = (0; 0)
Coordinate del fuoco
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​Se c = 0 → y = ax² + bx
​La parabola passa per l’origine degli assi. 
Equazione dell’asse
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Equazione della direttrice
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Coordinate del vertice
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Coordinate del fuoco
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Se b = 0 → y = ax² + c
​È come la parabola y = ax² ma traslata verso l’alto, se c > 0, o traslata verso il basso, se c < 0.
Equazione dell’asse
x = 0
Equazione della direttrice
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Coordinate del vertice
V = (0; c)
Coordinate del fuoco
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Fasci di parabole

Risoluzione di problemi sulla parabola

Qui di seguito vi propongo alcuni video spiegazione sulla parabola. Spero possano esservi di aiuto
Pagina creata il 17 aprile 2023

Mauitaui e la matematica - www.mauitaui.org - Prof.ssa Marisa Piras - Cagliari - Italy

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