Pagina in fase di elaborazione

LA PARABOLA

Si chiama parabola quella curva ottenuta dai punti che hanno stessa distanza da una retta ( detta direttrice) e da un punto fisso (che chiameremo fuoco).

Nella parabola possiamo riconoscere:

• Asse → ciò che divide la parabola in due parti simmetriche
• Vertice → è il punto di intersezione tra l’asse e la parabola. Se la parabola ha asse verticale il vertice potrà rappresentare il punto di minimo (se ha concavità rivolta verso l’alto) o di massimo (se la concavità è rivolta verso l’alto.
• Direttrice → retta perpendicolare all’asse che si trova da parte opposta del fuoco rispetto al fuoco e che ha stessa distanza FV.

Quante parabole possono essere rappresentate?

Le parabole che possono essere rappresentate sono infinite, ma nei libri scolastici della scuola superiore si discutono solo i casi nei quali l'asse di simmetria è parallelo ad uno dei due assi.

​Parabola con asse perpendicolare all’asse x (che vuole anche dire parallelo all'asse delle y o delle ordinate)

​L’equazione generale di una parabola con asse parallelo alle ordinate è una funzione di secondo grado la cui formula è:

y = ax² + bx + c

​Ricorda: Δ = b² – 4ac

Equazione dell’asse

Equazione della direttrice

Coordinate del vertice

Coordinate del fuoco

​Parabola con asse perpendicolare all’asse y (che vuole anche dire parallelo all'asse delle x o delle ascisse)

​L’equazione generale di una parabola con asse parallelo alle ascisse è una funzione di secondo grado la cui formula è:

x = ay² + by + c

Le formule sono "quasi" le stesse viste per la parabola con asse alle ordinate, ma con tutti i valori di x e y scambiati di posto.

Equazione dell’asse

Equazione della direttrice

Coordinate del vertice

Coordinate del fuoco

I coefficienti a, b e c nella parabola con asse parallelo alle ordinate

I coefficienti dell’equazione esplicita di una parabola, oltre a fornici delle informazioni sulle coordinate del vertice, del fuoco, della direttrice e dell’asse, ci danno delle informazioni importanti sulla sua apertura, sul verso della concavità, sulla posizione dell’asse e sui punti di intersezione con l’asse delle ordinate (asse y). ​

Nell'immagine modifica i valori di a, b e c e vedrai come la parabola cambierà.

Il coefficiente a è anche definito apertura, questo perché ci fornisce delle indicazioni sulle caratteristiche generali della parabola (forma e orientamento):

• più il valore del coefficiente a si avvicina allo 0, sia dalla parte positiva (da +∞ a 0) che dalla parte negativa (da da −∞ a 0), maggiore è l’apertura della parabola; conseguentemente, più a aumenta, in valore assoluto, più stretta sarà la parabola;
• se il coefficiente a è positivo → la parabola è rivolta verso l’alto (si avrà così un punto di minimo che corrisponde al vertice della parabola, al di sotto del quale la funzione non esiste);
  se il coefficiente a è negativo → la parabola è rivolta verso il basso (si avrà così un punto di massimo che corrisponde al vertice della parabola, al di sopra del quale la funzione non esiste). 

Coefficiente a positivo si traduce nell’avere la concavità rivolta verso l’alto.
La parabola di equazione y = x² è quella in rosso e la prendiamo come riferimento.
Tutte le parabole con coefficiente maggiore di 1 risultano essere meno aperte.
Tutte le parabole con coefficiente compreso tra 0 e 1 risultano essere molto più aperte. ​

Coefficiente a negativo si traduce nell’avere la concavità rivolta verso il basso.
La parabola di equazione y = − x² è quella in rosso e la prendiamo come riferimento.
Tutte le parabole con coefficiente minore di −1 risultano essere meno aperte.
Tutte le parabole con coefficiente compreso tra −1 e 0 risultano essere molto più aperte. ​

Il coefficiente b ci dà indicazioni sulla posizione dell’asse di simmetria:

• se i coefficienti a e b sono concordi (hanno lo stesso segno) l’asse di simmetria della parabola è interamente contenuto nel semipiano delle ascisse negative;
• se il coefficiente b è uguale a zero, l’asse di simmetria della parabola coincide con l’asse y;
• se i coefficienti a e b sono discordi (hanno segno diverso) l’asse di simmetria della parabola è interamente contenuto nel semipiano delle ascisse positive. 

y = 2x² + 2x + 1
a e b concordi

y = 2x² – 2x + 1
a e b discordi

y = ​– 2x² + 2x + 1
a e b discordi

y = ​– 2x² – 2x + 1
​a e b concordi

Tutte le parabole disegnate sopra hanno come termine noto c = 1, questo vuol dire che tutte le parabole sopra passano per il punto (0; 1).
Potremmo chiamare il termine noto, come nel caso della retta, è l'intercetta, perché ci dice, per parabole con asse parallelo all’asse y, in quale punto delle ordinate viene intercettata, è secante, la parabola. ​

Parabole particolari

Se b = c = 0 → y = ax²

La parabola ha vertice nell'origine degli assi, conseguentemente l'asse di simmetria è l'asse delle ordinate.

Equazione dell’asse

x = 0

Equazione della direttrice

Coordinate del vertice

V = (0; 0)

Coordinate del fuoco

​Se c = 0 → y = ax² + bx

​La parabola passa per l’origine degli assi. 

Equazione dell’asse

Equazione della direttrice

Coordinate del vertice

Coordinate del fuoco

Se b = 0 → y = ax² + c

​È come la parabola y = ax² ma traslata verso l’alto, se c > 0, o traslata verso il basso, se c < 0.

Equazione dell’asse

x = 0

Equazione della direttrice

Coordinate del vertice

V = (0; c)

Coordinate del fuoco

Fasci di parabole

Risoluzione di problemi sulla parabola

Qui di seguito vi propongo alcuni video spiegazione sulla parabola. Spero possano esservi di aiuto

Pagina creata il 17 aprile 2023