​PAGINA IN FASE DI ELABORAZIONE

I PRODOTTI NOTEVOLI

Si chiamano prodotti notevoli tutte quelle moltiplicazioni tra polinomi (talvolta visti come potenze se i due fattori sono uguali) il cui risultato, prodotto, può essere ricavato attraverso stratagemmi meno lunghi che normalmente non necessitano di semplificazioni successive.

I prodotti notevoli più studiati sono:

• il quadrato di un binomio; 
• il quadrato di un trinomio;
• la potenza ennesima di un binomio; 
• il prodotto di una somma per la loro differenza; 
• il cubo di un binomio.

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Quadrato di un binomio

Se un binomio è moltiplicato per se stesso, può essere scritto come il quadrato di quel binomio.

(a + b) · (a + b) = (a + b)²

Siamo di fronte ad un quadrato che ha come lato la somma o la differenza di due monomi.

Supponiamo di voler risolvere il seguente quadrato di un binomio:

Scriviamo la potenza come moltiplicazione

Il primo monomio della prima parentesi moltiplica entrambi i monomi della seconda parentesi, poi il secondo monomio della prima parentesi moltiplica entrami i monomi della seconda parentesi. 

Metti insieme i monomi simili.
Alla fine ottieni sempre un trinomio.

La regola

Il valore del quadrato di un binomio lo si ricava facendo:

• il quadrato del primo monomio (il primo monomio × il primo monomio); 
• il quadrato del secondo monomio (il secondo monomio × il secondo monomio);
• il doppio prodotto del primo monomio per il secondo monomio
  ​(2 × primo monomio × secondo monomio).

 

 

GIUSTIFICAZIONE GEOMETRICA

Primo e secondo monomio concordi (entrambi positivi o entrambi negativi).
​Tutti e tre i termini sono positivi.

Primo e secondo monomio discordi (uno positivo e l’altro negativo).
I due quadrati sono positivi, mentre il doppio prodotto è negativo.

IMPORTANTE
I quadrati sono sempre POSITIVI (cioè sempre preceduti dal segno +)
Il doppio prodotto (due volte il primo per il secondo termine) sarà:

• positivo (preceduto dal segno +) se il binomio è concorde (hanno lo stesso segno, entrambi positivi o entrambi negativi)
• negativo (preceduto dal segno -) se il binomio è discorde (hanno segno diverso, uno è positivo e l'altro negativo o viceversa)

Esempio 1 sul quadrato di un binomio

il primo termine è

il secondo termine è

Per ottenere il risultato possiamo usare questa regola:

• il quadrato del primo termine +
• il quadrato del secondo termine +
• il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine.

oppure questa regola:

• primo termine × primo termine +
• secondo termine × secondo termine +
• 2 × primo termine × secondo termine.

oppure riscriverlo come prodotto di un binomio per se stesso:

• il primo per il primo + 
• il primo per il secondo + 
• il secondo per il primo +
• il secondo per il secondo. 

da risolvere come il prodotto di un binomio per un binomio

risolviamo le moltiplicazioni tra monomi

sommiamo insieme i monomi simili

Tutti i metodi portano al risultato qui sotto.

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Esempio 2 sul quadrato di un binomio​

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Espressioni con il quadrato del binomio

Per prima cosa leggiamo bene l'espressione algebrica, abbiamo:
- il quadrato di un binomio
- meno il quadrato di un altro binomio
- meno un monomio
Leggere prima l'espressione e mettere dei limiti alle operazioni da fare prima è sempre una buona prassi e potrebbe aiutare molto.

Per comodità ho dato un colore diverso a ciascuna frase, per cui:

• risolviamo il primo quadrato del binomio x + 2y
• mettiamo il segno meno e mettiamo il risultato del quadrato del binomio x - 2y dentro una parentesi tonda (il segno meno cambierà tutti i segni)
• riscriviamo 8xy

In questo passaggio togliamo la parentesi tonda avendo cura di cambiare tutti i segni al suo interno.

Annulliamo tutti i monomi OPPOSTI tra loro, e anche + 4xy + 4xy - 8xy
perché (+ 4 + 4 - 8 ) = 0
Il risultato finale sarà 0 perché tutti i monomi sono stati annullati tra loro.

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contatore inserito il 15 luglio 2021