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​PAGINA IN FASE DI ELABORAZIONE

I PRODOTTI NOTEVOLI

Si chiamano prodotti notevoli tutte quelle moltiplicazioni tra polinomi (talvolta visti come potenze se i due fattori sono uguali) il cui risultato, prodotto, può essere ricavato attraverso stratagemmi meno lunghi che normalmente non necessitano di semplificazioni successive.
I prodotti notevoli più studiati sono:
  • il quadrato di un binomio; 
  • il quadrato di un trinomio;
  • la potenza ennesima di un binomio; 
  • il prodotto di una somma per la loro differenza; 
  • il cubo di un binomio.

Quadrato di un binomio

Se un binomio è moltiplicato per se stesso, può essere scritto come il quadrato di quel binomio.
(a + b) · (a + b) = (a + b)²
Siamo di fronte ad un quadrato che ha come lato la somma o la differenza di due monomi.
Supponiamo di voler risolvere il seguente quadrato di un binomio:
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Scriviamo la potenza come moltiplicazione
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Il primo monomio della prima parentesi moltiplica entrambi i monomi della seconda parentesi, poi il secondo monomio della prima parentesi moltiplica entrami i monomi della seconda parentesi. 
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Metti insieme i monomi simili.
Alla fine ottieni sempre un trinomio.
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La regola
Il valore del quadrato di un binomio lo si ricava facendo:
  • il quadrato del primo monomio (il primo monomio × il primo monomio); 
  • il quadrato del secondo monomio (il secondo monomio × il secondo monomio);
  • il doppio prodotto del primo monomio per il secondo monomio
    ​(2 × primo monomio × secondo monomio).
 
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GIUSTIFICAZIONE GEOMETRICA
Primo e secondo monomio concordi (entrambi positivi o entrambi negativi).
​Tutti e tre i termini sono positivi.
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Primo e secondo monomio discordi (uno positivo e l’altro negativo).
I due quadrati sono positivi, mentre il doppio prodotto è negativo.
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IMPORTANTE
I quadrati sono sempre POSITIVI (cioè sempre preceduti dal segno +)
Il doppio prodotto (due volte il primo per il secondo termine) sarà:
  • positivo (preceduto dal segno +) se il binomio è concorde (hanno lo stesso segno, entrambi positivi o entrambi negativi)
  • negativo (preceduto dal segno -) se il binomio è discorde (hanno segno diverso, uno è positivo e l'altro negativo o viceversa)
Esempio 1 sul quadrato di un binomio
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il primo termine è
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il secondo termine è
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Per ottenere il risultato possiamo usare questa regola:
  • il quadrato del primo termine +
  • il quadrato del secondo termine +
  • il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine.
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oppure questa regola:
  • primo termine × primo termine +
  • secondo termine × secondo termine +
  • 2 × primo termine × secondo termine.
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oppure riscriverlo come prodotto di un binomio per se stesso:
  • il primo per il primo + 
  • il primo per il secondo + 
  • il secondo per il primo +
  • il secondo per il secondo. 
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da risolvere come il prodotto di un binomio per un binomio
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risolviamo le moltiplicazioni tra monomi
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sommiamo insieme i monomi simili
Tutti i metodi portano al risultato qui sotto.
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Esempio 2 sul quadrato di un binomio​
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Espressioni con il quadrato del binomio

Per prima cosa leggiamo bene l'espressione algebrica, abbiamo:
- il quadrato di un binomio
- meno il quadrato di un altro binomio
- meno un monomio
Leggere prima l'espressione e mettere dei limiti alle operazioni da fare prima è sempre una buona prassi e potrebbe aiutare molto.
Per comodità ho dato un colore diverso a ciascuna frase, per cui:
  • risolviamo il primo quadrato del binomio x + 2y
  • mettiamo il segno meno e mettiamo il risultato del quadrato del binomio x - 2y dentro una parentesi tonda (il segno meno cambierà tutti i segni)
  • riscriviamo 8xy
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In questo passaggio togliamo la parentesi tonda avendo cura di cambiare tutti i segni al suo interno.
Annulliamo tutti i monomi OPPOSTI tra loro, e anche + 4xy + 4xy - 8xy
perché (+ 4 + 4 - 8 ) = 0
Il risultato finale sarà 0 perché tutti i monomi sono stati annullati tra loro.
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contatore inserito il 15 luglio 2021

Mauitaui e la matematica - www.mauitaui.org - Prof.ssa Marisa Piras - Cagliari - Italy

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Contatore inserito il 28 febbraio 2022
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