Operare coi numeri relativi

LE OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI

Mettere insieme (sommare) i numeri relativi

Tutte le differenze possono essere viste come delle somme algebriche in quanto per somma algebrica si intende "mettere insieme numeri relativi", siano essi positivi o negativi.

Mettere insieme due numeri positivi
Il risultato è dato dalla somma delle due quantità e il valore sarà sempre positivo.
(+7) + (+5) = +7 +5 = + 12 = 12

Mettere insieme due numeri negativi
Il risultato è dato dalla somma delle due quantità (la somma dei loro valori assoluti) ma il valore totale sarà negativo
(–7) + (–5) = –7 –5 = –(7 + 5) = –12

Mettere insieme un numero positivo e un numero negativo
Il maggiore in valore assoluto (numero privato del segno) è quello che dà il segno all’operazione, dopodiché si farà: quantità maggiore – quantità minore.
(+7) + (–5) = 7 – 5 = 2 → il risultato è positivo perché il maggiore in valore assoluto è +7
(–7) + (+5) = –(7 – 5) = –2 → il risultato è negativo perché il maggiore in valore assoluto è –7

Sottrarre (calcolare la differenza di) numeri relativi

Calcolare la differenza di due numeri relativi vuol dire eseguire la somma algebrica del primo numero (minuendo) e dell’opposto del secondo numero (sottraendo).

Togliere una quantità positiva ad un’altra positiva
Il risultato della differenza di due numeri positivi dipende dal valore assoluto di entrambi:

(+a) – (+b) = + a – b

se |+a| > |–b| → + a – b = positivo
+7 – (+5) = +7 – 5 = + 2

se |+a| < |–b| → + a – b = negativo
+5 – (+7) = +5 – 7 = – 2

Togliere una quantità negativa ad un’altra negativa
Il risultato della differenza di due numeri negativi dipende dal valore assoluto di entrambi:

(–a) – (–b) = – a + b

se |–a| > |+b| → – a + b = negativo
–7 – (–5) = – 7 + 5 = – 2

se |–a| < |+b| → – a + b = positivo
– 5 – (–7) = – 5 + 7 = + 2

Togliere una quantità negativa ad un’altra positiva
Il risultato di questa differenza è uguale ad un numero positivo
il cui valore assoluto è uguale alla somma dei valori assoluti delle due quantità:

(+a) – (+b) = + a + b = + (a + b)
+7 – (+5) = +7 + 5 = + (7 + 5) = + 12

Togliere una quantità positiva ad un’altra negativa
Il risultato di questa differenza è uguale ad un numero negativo
il cui valore assoluto è uguale alla somma dei valori assoluti delle due quantità:

(–a) – (+b) = – a – b = – (a + b)
– 7 – (+5) = – 7 – 5 = – (7 + 5) = – 12

Segno + davanti ad una parentesi
→ lascia inalterato il segno di ciò che sta nella parentesi.
Segno – davanti ad una parentesi
→ cambia il segno di ciò che sta nella parentesi

Le somme algebriche

Supponiamo di avere di fronte una somma algebrica, cioè una serie di numeri anticipati da un segno positivo o negativo e nella quale non compaiono né segni di moltiplicazione né segni di divisione:

6 - 5 - 8 + 4 - 14 + 7 - 8 + 5 =

sottolineare o evidenziare tutti i numeri negativi:

= 6 – 5 – 8 + 4 – 14 + 7 – 8 + 5 =

Nella somma algebrica sono presenti numeri opposti? Se sì eliminali a vicenda:

= 6 – 5 – 8 + 4 – 14 + 7 – 8 + 5 =
= 6 – 8 + 4 – 14 + 7 – 8 =

mettere all'interno di una parentesi tutti i numeri concordi positivi;
chiudere la parentesi, mettere il segno - e aprirne un'altra nella quale mettere tutti i numeri concordi negativi, ma legati tra loro dal segno + (stiamo mettendo INSIEME i numeri negativi);
chiudere la parentesi e mettere il segno di =

= (6 + 4 + 7) – (8 + 14 + 8) =

4. sommare i termini di ciascuna parentesi

= 17 – 30 = – (30 –17) = –13

Per fare la somma algebrica vi propongo un esempio, tanto coi soldi siamo tutti bravi! Supponiamo di voler acquistare un qualcosa (quantità negativa perché i soldi li spendo) e ho a disposizione una certa somma di denaro (quantità positiva).
Ciò che voglio acquistare:

ha un prezzo inferiore di quanto possiedo? → il risultato finale sarà positivo, +;
ha un prezzo superiore di quanto possiedo? → il risultato finale sarà negativo, –;

Ora sottrai la quantità maggiore alla quantità minore senza considerare il loro segno.

IMPORTANTE
Se anziché avere a che fare con i numeri naturali (interi) avessimo numeri razionali (esprimibili tramite delle frazioni) e/o irrazionali (non esprimibili tramite frazioni, come le radici quadrate) le regole sopra esposte sarebbero identiche.

Il prodotto di numeri relativi

Prodotto dei segni (amico = + nemico = –)

L’amico del mio amico è mio amico
L’amico è mio nemico è mio nemico
Il nemico del mio amico è mio nemico
Il nemico del mio nemico è mio amico

+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +

Innanzitutto ricordiamo che il prodotto è il risultato di una moltiplicazione.
Quando abbiamo a che fare con il prodotto di due o più numeri relativi occorre operare nel modo seguente:

Moltiplicare i segni
Moltiplicare i numeri
Il risultato avrà il segno ottenuto al punto 1. e il prodotto ottenuto nel punto 2.

Moltiplicare due o più numeri positivi

Il prodotto di due o più numeri positivi è sempre positivo:

(+7)(+5) = + 7 · 5 = + 35

(+2)(+3)(+4)(+5) = + 2 · 3 · 4 · 5 = + 120

Moltiplicare due o più numeri negativi

Il prodotto di due o più numeri negativi dipende dalla quantità dei fattori:

se la quantità dei fattori è pari
il prodotto è positivo
(–2)(–3)(–4)(–5) = + 2 · 3 · 4 · 5 = + 120

se la quantità dei fattori è dispari
il prodotto è negativo
(–2)(–3)(–2)(–5)(–4) = – 2 · 3 · 2 · 5 · 4 = – 240

Moltiplicare due o più numeri relativi misti (positivi e negativi)

Il prodotto di due o più numeri relativi dipende dalla quantità dei fattori negativi:

se la quantità dei fattori negativi è pari
il prodotto è positivo
(+2)(–3)(–4)(+5) = + 2 · 3 · 4 · 5 = + 120

se la quantità dei fattori negativi è dispari
il prodotto è negativo
(+2)(+3)(–2)(+5) = – 2 · 3 · 2 · 5 · 4 = – 60

Se i numeri relativi sono numeri razionali visti sottoforma di frazioni, si opera nel seguente modo:

Moltiplicare prima i segni
Riscrivere le frazioni una di fianco all'altra
Semplificare, se è possibile, qualunque numeratore con qualunque denominatore
Moltiplicare tra di loro i numeratori rimasti e poi moltiplicare tra di loro i denominatori rimasti
Il risultato avrà come segno finale il risultato ottenuto nel punto 1. e come numero quanto ottenuto nel punto 4.

Quoziente di numeri relativi

Innanzitutto ricordiamo che il quoziente è il risultato di una divisione. Essendo la divisione l'operazione inversa della moltiplicazione, ne consegue che le regole sono esattamente le stesse per quanto riguarda il quoziente dei segni.

Quando abbiamo a che fare con la divisione di due o più numeri relativi, per quanto riguarda il segno, ci si comporta come per il prodotto di numeri relativi:

dividi o moltiplica i segni
dividi le quantità numeriche
il risultato avrà il segno ottenuto al punto 1. e la quantità ottenuta nel punto 2.

Dividere due numeri positivi
Il quoziente di due numeri positivi è sempre positivo: (+14) : (+7) = + 14 : 7 = + 2

Dividere due numeri negativi
Il prodotto di due numeri negativi è sempre positivo: (–12) : (–3) = + 12 : 3 = + 4

Dividere due numeri discordi
Il quoziente di due numeri discordi (uno positivo e l’altro negativo o viceversa)
è sempre negativo:
(+12) : (–3) = (–12) : (+3) = – 12 : 3 = – 4

Qualunque divisione può essere vista come una moltiplicazione:
riscrivi il primo numero (dividendo), trasforma il : in ·, inverti il secondo numero (divisore).

Le potenze di numeri relativi (con esponente naturale)

Per quanto riguarda le potenze di numeri relativi occorre ricordare che le regole viste in aritmetica sono le stesse in algebra.

Qui di seguito vedremo cosa succede quando l'esponente è un numero pari, un numero dispari o un numero negativo.

IMPORTANTE: se la base di una potenza è un numero negativo occorre SEMPRE scriverla tra parentesi, in caso contrario la potenza avrà come base solo il numero e non il suo segno:

(–6)² ≠ –6²
infatti
(–6)² = (–6)(–6) = +36 mentre –6² = – 6 · 6 = –36

Nello schema che vi presento sotto si deduce che, una potenza ha come valore un numero negativo SOLO e SOLO SE la base è negativa e l’esponente è dispari:

Base	Esponente	Valore della potenza	Esempio
positiva	pari o dispari	positivo	(+3)⁵ = (+3) (+3) (+3) (+3) (+3) = +3⁵ = +243
negativa	pari	positivo	(–2)⁴ = (–2) (–2) (–2) (–2) = +2⁴ = +16
negativa	dispari	negativo	(–5)³ = (–5) (–5) (–5) = –5³ = –125

Potenze con esponente negativo

Il valore di una potenza con esponente negativo è uguale ad una potenza che avrà come base l’inverso della vecchia base e come esponente il valore assoluto del vecchio esponente:

Se la base è un numero intero dovrai scrivere una frazione che ha:

come numeratore il numero 1;
come denominatore la vecchia base;
come esponente il valore assoluto del vecchio esponente negativo.

Se la base è una frazione dovrai scrivere una frazione che ha:

come numeratore il vecchio denominatore;
come denominatore il vecchio numeratore;
come esponente il valore assoluto del vecchio esponente negativo.

Pagina rivista il 31 ottobre 2021