Le operazioni con i numeri relativi
La somma e la sottrazione
Tutte le differenze possono essere viste come delle somme algebriche in quanto per somma algebrica si intende "mettere insieme numeri relativi", dunque siano essi positivi o negativi
Supponiamo di avere di fronte una somma algebrica, cioè una serie di numeri anticipati da un segno positivo o negativo
6 - 5 - 8 + 4 - 14 + 17 - 8 + 5 + 9 =
sottolineare tutti i numeri negativi, io per comodità li ho scritti con un colore diverso
= 6 - 5 - 8 + 4 - 14 + 17 - 8 + 5 + 9 =
- mettere all'interno di una parentesi tutti i numeri concordi positivi;
- chiudere la parentesi, mettere il segno - e aprirne un'altra nella quale mettere tutti i numeri concordi negativi, ma legati tra loro dal segno +;
- chiudere la parentesi e mettere il segno di =
= (6 + 4 + 17 + 5 + 9) - (5 + 8 + 14 + 8) =
4. sommare i termini di ciascuna parentesi
= (41) - (35) = + 6
Per fare la somma algebrica vi propongo un esempio, supponiamo di giocare al tiro alla fune, entrambe le squadre, squadra dei positivi e squadra dei negativi, hanno un numero di giocatori che hanno ciascuno la stessa forza, come prima cosa occorre valutare quale squadra ha il maggior numero di giocatori, dopo di che si effettua la differenza tra il numero maggiore e quello minore, possono accadere tre cose:
1 - se il numero positivo è maggiore del numero negativo, vincerà il
positivo e la differenza ci dirà quanti giocatori avrà in più scrivere
+ 35 - 14 è uguale alla scrittura 35 - 14 e alla scrittura - 14 + 35
positivo e la differenza ci dirà quanti giocatori avrà in più scrivere
+ 35 - 14 è uguale alla scrittura 35 - 14 e alla scrittura - 14 + 35
+ 35 - 14 = + (35 - 14) = 21
2 - se il numero positivo è uguale al numero negativo, non vincerà
nessuno, la partita finirà con zero.
Scrivere 12 - 12 è come scrivere - 12 + 12.
nessuno, la partita finirà con zero.
Scrivere 12 - 12 è come scrivere - 12 + 12.
12 - 12 = 0
3 - se il numero positivo è minore del negativo, vinceranno i negativi e
la differenza tra di due ci dirà quanti giocatori avrà in più.
la differenza tra di due ci dirà quanti giocatori avrà in più.
+ 22 - 65 = - (65 - 22) = 43
importante
Se anziché avere a che fare con i numeri naturali (interi) avessimo numeri razionali (esprimibili tramite delle frazioni) e/o irrazionali (non esprimibili tramite frazioni, come le radici quadrate) le regole sopra esposte sarebbero identiche.
Se anziché avere a che fare con i numeri naturali (interi) avessimo numeri razionali (esprimibili tramite delle frazioni) e/o irrazionali (non esprimibili tramite frazioni, come le radici quadrate) le regole sopra esposte sarebbero identiche.
La moltiplicazione
Prodotto dei segni (amico = + nemico = -)
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L'amico del mio amico è mio amico
Il nemico del mio nemico è mio amico L'amico del mio nemico è mio nemico Il nemico del mio amico è mio nemico |
+ · + = +
- · - = + + · - = - - · + = - |
Innanzitutto ricordiamo che il prodotto è il risultato di una moltiplicazione.
Quando abbiamo a che fare con il prodotto di due o più numeri relativi occorre operare nel modo seguente:
Quando abbiamo a che fare con il prodotto di due o più numeri relativi occorre operare nel modo seguente:
- Moltiplicare i segni
- Moltiplicare i numeri
- Il risultato avrà il segno ottenuto al punto 1. e il prodotto ottenuto nel punto 2.
Ecco alcuni esempi
Se i numeri relativi sono numeri razionali (numeri periodici o decimali scrivibili sotto forma di frazioni) o frazioni, si opera nel seguente modo:
- Moltiplicare prima i segni
- Riscrivere le frazioni una di fianco all'altra
- Semplificare ciascun numeratore con qualunque denominatore, se è possibile
- Moltiplicare tra di loro i numeratori e poi moltiplicare tra di loro i denominatori
- Il risultato avrà come segno finale il risultato ottenuto nel punto 1. e come numero quanto ottenuto nel punto 4.
Alcuni esempi:
La divisione
Innanzitutto ricordiamo che il quoziente è il risultato di una divisione. Essendo la divisione l'operazione inversa della moltiplicazione, ne consegue che le regole sono esattamente le stesse per quanto riguarda il quoziente dei segni.
Ecco alcuni esempi:
Le potenze
Per quanto riguarda le potenze di numeri relativi occorre ricordare che le regole viste in aritmetica sono le stesse in algebra.
Le potenze e le loro proprietà.
Qui di seguito vedremo cosa succede quando l'esponente è un numero pari, un numero dispari o un numero negativo.
IMPORTANTE: se la base di una potenza è un numero negativo occorre SEMPRE scriverla tra parentesi, in caso contrario la potenza avrà come base solo il numero e non i suo segno.
Le potenze e le loro proprietà.
Qui di seguito vedremo cosa succede quando l'esponente è un numero pari, un numero dispari o un numero negativo.
IMPORTANTE: se la base di una potenza è un numero negativo occorre SEMPRE scriverla tra parentesi, in caso contrario la potenza avrà come base solo il numero e non i suo segno.
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Esponente
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Cosa succede e che tipo di risultato avremo?
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Pari
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Se l'esponente è pari, vuol dire che la base è moltiplicata per se stessa un numero pari di volte, e, qualunque sia la base, positiva o negativa, il risultato sarà sempre positivo.
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Dispari
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Se l'esponente è dispari, vuol dire che la base è moltiplicata per se stessa un numero dispari di volte, e, il risultato sarà:
- positivo se la base era positiva; - negativo se la base era negativa. |
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Negativo
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Se l'esponente è negativo il risultato vedrà invertito numeratore con denominatore e viceversa e se il numero è pari o dispari seguirà le regole viste sopra.
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