Le operazioni con i numeri relativi
La somma e la sottrazione
Tutte le differenze possono essere viste come delle somme algebriche in quanto per somma algebrica si intende "mettere insieme numeri relativi", dunque siano essi positivi o negativi
Supponiamo di avere di fronte una somma algebrica, cioè una serie di numeri anticipati da un segno positivo o negativo:
6 - 5 - 8 + 4 - 14 + 17 - 8 + 5 + 9 =
sottolineare o evidenziare tutti i numeri negativi:
= 6 - 5 - 8 + 4 - 14 + 17 - 8 + 5 + 9 =
- mettere all'interno di una parentesi tutti i numeri concordi positivi;
- chiudere la parentesi, mettere il segno - e aprirne un'altra nella quale mettere tutti i numeri concordi negativi, ma legati tra loro dal segno + (stiamo mettendo INSIEME i numeri negativi);
- chiudere la parentesi e mettere il segno di =
= (6 + 4 + 17 + 5 + 9) - (5 + 8 + 14 + 8) =
4. sommare i termini di ciascuna parentesi
= (41) - (35) = + 6
Per fare la somma algebrica vi propongo un esempio, supponiamo di giocare al tiro alla fune, entrambe le squadre, squadra dei positivi e squadra dei negativi.
Ciascun giocatore sia della squadra dei + sia della squadra dei - ha la stessa forza.
Come prima cosa occorre valutare quale squadra ha il maggior numero di giocatori:
Possono accadere tre cose:
Ciascun giocatore sia della squadra dei + sia della squadra dei - ha la stessa forza.
Come prima cosa occorre valutare quale squadra ha il maggior numero di giocatori:
- ci sono più giocatori positivi → il risultato finale sarà positivo, +;
- ci sono più giocatori negativi → il risultato finale sarà negativo, -;
Possono accadere tre cose:
1 - se il numero positivo è maggiore del numero negativo, vincerà il positivo e la differenza ci dirà quanti giocatori avrà in più scrivere
+ 35 - 14 è uguale alla scrittura 35 - 14 e alla scrittura - 14 + 35
+ 35 - 14 è uguale alla scrittura 35 - 14 e alla scrittura - 14 + 35
+ 35 - 14 = + (35 - 14) = 21
2 - se il numero positivo è uguale al numero negativo, non vincerà nessuno, la partita finirà con zero.
Scrivere 12 - 12 è come scrivere - 12 + 12.
Scrivere 12 - 12 è come scrivere - 12 + 12.
12 - 12 = 0
3 - se il numero positivo è minore del negativo, vinceranno i negativi e la differenza tra di due ci dirà quanti giocatori avrà in più.
+ 22 - 65 = - (65 - 22) = 43
importante
Se anziché avere a che fare con i numeri naturali (interi) avessimo numeri razionali (esprimibili tramite delle frazioni) e/o irrazionali (non esprimibili tramite frazioni, come le radici quadrate) le regole sopra esposte sarebbero identiche.
Se anziché avere a che fare con i numeri naturali (interi) avessimo numeri razionali (esprimibili tramite delle frazioni) e/o irrazionali (non esprimibili tramite frazioni, come le radici quadrate) le regole sopra esposte sarebbero identiche.
La moltiplicazione
Prodotto dei segni (amico = + nemico = -)
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L'amico del mio amico è mio amico
Il nemico del mio nemico è mio amico L'amico del mio nemico è mio nemico Il nemico del mio amico è mio nemico |
+ · + = +
- · - = + + · - = - - · + = - |
Innanzitutto ricordiamo che il prodotto è il risultato di una moltiplicazione.
Quando abbiamo a che fare con il prodotto di due o più numeri relativi occorre operare nel modo seguente:
Quando abbiamo a che fare con il prodotto di due o più numeri relativi occorre operare nel modo seguente:
- Moltiplicare i segni
- Moltiplicare i numeri
- Il risultato avrà il segno ottenuto al punto 1. e il prodotto ottenuto nel punto 2.
Ecco alcuni esempi
Se i numeri relativi sono numeri razionali (numeri periodici o decimali scrivibili sotto forma di frazioni) o frazioni, si opera nel seguente modo:
- Moltiplicare prima i segni
- Riscrivere le frazioni una di fianco all'altra
- Semplificare ciascun numeratore con qualunque denominatore, se è possibile
- Moltiplicare tra di loro i numeratori e poi moltiplicare tra di loro i denominatori
- Il risultato avrà come segno finale il risultato ottenuto nel punto 1. e come numero quanto ottenuto nel punto 4.
Alcuni esempi:
La divisione
Innanzitutto ricordiamo che il quoziente è il risultato di una divisione. Essendo la divisione l'operazione inversa della moltiplicazione, ne consegue che le regole sono esattamente le stesse per quanto riguarda il quoziente dei segni.
Ecco alcuni esempi:
Le potenze
Per quanto riguarda le potenze di numeri relativi occorre ricordare che le regole viste in aritmetica sono le stesse in algebra.
Le potenze e le loro proprietà.
Qui di seguito vedremo cosa succede quando l'esponente è un numero pari, un numero dispari o un numero negativo.
IMPORTANTE: se la base di una potenza è un numero negativo occorre SEMPRE scriverla tra parentesi, in caso contrario la potenza avrà come base solo il numero e non i suo segno.
Le potenze e le loro proprietà.
Qui di seguito vedremo cosa succede quando l'esponente è un numero pari, un numero dispari o un numero negativo.
IMPORTANTE: se la base di una potenza è un numero negativo occorre SEMPRE scriverla tra parentesi, in caso contrario la potenza avrà come base solo il numero e non i suo segno.
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Esponente
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Cosa succede e che tipo di risultato avremo?
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Pari
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Se l'esponente è pari, vuol dire che la base è moltiplicata per se stessa un numero pari di volte, e, qualunque sia la base, positiva o negativa, il risultato sarà sempre positivo.
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Dispari
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Se l'esponente è dispari, vuol dire che la base è moltiplicata per se stessa un numero dispari di volte, e, il risultato sarà:
- positivo se la base era positiva; - negativo se la base era negativa. |
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Negativo
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Se l'esponente è negativo il risultato vedrà invertito numeratore con denominatore e viceversa e se il numero è pari o dispari seguirà le regole viste sopra.
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