Mauitaui e la matematica
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Numeri primi fra loro

Due o più numeri si dicono primi fra loro quando non appartengono contemporaneamente a nessuna tabellina, esclusa quella dell'1.
Oppure si può dire che due o più numeri sono primi fra loro se non hanno nessun divisore in comune, escluso 1.
Calcolo MCD e mcm

Calcolo M.C.D. e m.c.m.

1° numero:
2° numero:

3° numero:
(facoltativo)
4° numero:
(facoltativo)



Massimo comune divisore (M.C.D.):

Minimo comune multiplo (m.c.m.):

Attenzione: le caselle vanno riempite nell'ordine dato: 1°, 2°, 3°, 4°, altrimenti i risultati potrebbero essere sbagliati!

Massimo Comune Divisore (MCD)

Il Massimo Comune Divisore (MCD) è il numero più grande che divide contemporaneamente due o più numeri.
In matematichese si definisce come: il più grande divisore comune a due o più numeri. 
Il MCD tra due o più numeri è uguale a 1 quando:
- il più grande tra tutti è un numero primo
  MCD (25, 32 e 97) = 1 perché 97 è un numero primo;
Foto
- quando i numeri non hanno nessun divisore comune, escluso l'1
  MCD (14, 16, 27) = 1 perché 14 = 2 x 7
                              16 = 2 x 2 x 2 x 2
                              27 = 3 x 3 x 3
  non hanno un numero primo che faccia parte contemporaneamente delle tre
​  scomposizioni;
Foto
​- quando sono numeri consecutivi (15 e 16 oppure 20118 e 20119)
  MCD (24, 25) = 1 perché 24 = 2 x 2 x 2 x 3
                          25 = 5 x 5
​  non hanno nessun divisore in comune escluso l'1;
Foto
- quando sono numeri consecutivi dispari (25 e 27 oppure 105 e 107)
  
MCD (33, 35) = 1 perché 33 = 3 x 11
                          35 = 5 x 7
  non hanno nessun divisore in comune escluso l'1.
Foto
È importante ricordare che il MCD:
- non è mai più grande della differenza dei due;
  MCD (14, 16) = 2    16 - 14 = 2    la differenza è uguale al MCD;
  MCD (14, 18) = 2    18 - 14 = 4    la differenza è maggiore del MCD;
- non è mai più grande del numero più piccolo presente;
​- è uguale a 2 quando i numeri sono consecutivi pari (26 e 28, 154 e 156).

Calcolare il MCD di due o più numeri con le scomposizioni in fattori primi

Il MCD si trova prendendo ogni fattore comune a tutti i numeri, preso una sola volta abbinando il più piccolo esponente presente.
Vediamo passo a passo come si opera:
  1. fare la scomposizione in fattori primi;
  2. scrivere ciascun numero come prodotto di potenze le cui basi sono fattori primi;
  3. prendere ogni base comune a tutti, solo una volta;
  4. mettere a ciascuna base l'esponente più piccolo presente;
  5. risolvere le singole potenze e moltiplicare i fattori.
Foto

Calcolo del MCD tramite il metodo delle sottrazioni successive

Un altro metodo, sicuramente meno conosciuto, e che non richiede la conoscenza delle tabelline, è quello delle sottrazioni successive.
Per usare questo metodo si opera in questo modo:
  1. tolgo al più grande il più piccolo;
  2. escludo il più grande, tolgo il più piccolo al medio; 
  3. continuo in questo modo fino a quando i due numeri più piccoli non sono uguali.
MCD (45, 18) =
Li sottraggo tra loro
Tolgo al ​medio il più piccolo
​
Tolgo al ​medio il più piccolo
45 - 18 = 27
27 - ​18 = 9
​
18 - 
9 = 9
Il medio è uguale al più piccolo, allora MCD (45, 18) = 9

MCD con l'algoritmo di Euclide

L'uso di questo metodo non richiede scomposizioni o conoscenze di divisibilità. 
MCD (A, B) = Rispondo alla domanda:
Quante volte il più piccolo sta nel più grande?
Uso poi il medio e il più piccolo e mi ripropongo la stessa domanda: quante volte il più piccolo sta nel più grande?
Continuo fino a quando il resto non sarà uguale a 0.
MCD (168, 63) = 
​168 = 63 (2) + 42
63 = 42 (1) + 21
42 = 21 (2) + 0
21 è il MCD

Calcolo del MCD di due o più numeri utilizzando un'unica tabella

MCD (450, 660, 720) = 10 x 3 = 30
Scrivo i numeri iniziali
450
660
720
Divisori comuni a tutti
Divido tutti i numeri per 10
45
66
72
10
Divido tutti i numeri per 3
15
22
24
3
Riscrivo i numeri come prodotto di numeri primi
3x5
2x11
2x2x2
Nessun fattore comune a tutti
In rosso ho scritto i divisori comuni a tutti, pertanto il MCD = 10x3 = 30

Il minimo comune multiplo (mcm)

I multipli di un numero sono infiniti.
Il minimo comune multiplo rappresenta il più piccolo numero multiplo di due o più numeri comune a tutti quanti.
Non può essere mai più piccolo del più grande dei numeri presenti.
Il mcm sarà tanto più grande quanto piccola è la differenza tra i due numeri.
Il mcm di due numeri è uguale al prodotto dei numeri presenti quando:
- il più grande dei due è un numero primo,
  mcm (16, 83) = 16 x 83    perché 83 è un numero primo;
- quando i numeri sono primi fra loro,
  mcm (14, 25) = 14 x 25   perché i due numeri non hanno divisori in 
  comune;
- ​quando i numeri sono consecutivi (come tra 15 e 16, o tra 2008 e 2009),
  mcm (22, 23) = 22 x 23;
- quando i numeri sono dispari consecutivi (come 23 e 25),
  mcm (57, 59) = 57 x 59.

Trovare il mcm di due o più numeri tramite la scomposizione in fattori primi

Per calcolare il mcm con questo metodo occorre:
  • scomporre tutti i numeri in fattori primi
  • prendere tutti i tipi di base presente, sia comune che non comune, ma solo una volta;
  • abbinare a ciascuna base l'esponente più grande presente per quella base;
  • ​risolvere le potenze e eseguire la moltiplicazione per conoscere il mcm.

Calcolo del mcm di due o più numeri con l'utilizzo di una tabella comune

Supponiamo di voler calcolare il mcm (450, 660, 720) = 
Scrivo i numeri iniziali
450
660
720
Divisori comuni a tutti
Divisori non comuni a tutti
Divido tutti i numeri per 10
45
66
72
10
-
Divido tutti i numeri per 3
15
22
24
3
-
Divido per 3 e se non si può lo riscrivo
5
22
8
-
3
​Divido per 2 e se non si può lo riscrivo
5
11
4
-
2
I numeri sono primi fra loro e li scrivo nella colonna dei divisori
-
-
-
-
5 x 11 x 4
mcm (450, 660, 720) = ​10 x 3 x 3 x 2 x 5 x 11 x 4
Come avete potuto notare, nel calcolo del mcm ho messo tutti i divisori, sia quelli comuni a tutti (in rosso), quelli comuni a almeno due di loro (in verde) e quelli che non sono comuni a nessuno (in azzurro).
Naturalmente quando dico comuni a tutti o ad una parte di loro mi riferisco sempre non ai numeri originali ma a quelli che ottengo dopo averli divisi.

MCD e mcm in un'unica tabella

Se dobbiamo calcolare sia il MCD che il mcm di due o più numeri, il metodo visto sopra dell'unica tabella potrebbe venirvi in aiuto.
Importante:
- se moltiplico tutti i divisori che appartengono alla colonna dei
  divisori comuni ottengo il MCD; 
- se moltiplico tutti i divisori che appartengono a entrambe le colonne
  (divisori comuni e divisori non comuni a tutti) ottengo il mcm.         

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