Numeri primi fra loro
Due o più numeri si dicono primi fra loro quando non appartengono contemporaneamente a nessuna tabellina, esclusa quella dell'1.
Oppure si può dire che due o più numeri sono primi fra loro se non hanno nessun divisore in comune, escluso 1.
Oppure si può dire che due o più numeri sono primi fra loro se non hanno nessun divisore in comune, escluso 1.
Calcolo M.C.D. e m.c.m.
| Attenzione: le caselle vanno riempite nell'ordine dato: 1°, 2°, 3°, 4°, altrimenti i risultati potrebbero essere sbagliati! |
Massimo Comune Divisore (MCD)
Il Massimo Comune Divisore (MCD) è il numero più grande che divide contemporaneamente due o più numeri.
In matematichese si definisce come: il più grande divisore comune a due o più numeri.
In matematichese si definisce come: il più grande divisore comune a due o più numeri.
Il MCD tra due o più numeri è uguale a 1 quando:
- il più grande tra tutti è un numero primo
MCD (25, 32 e 97) = 1 perché 97 è un numero primo;
MCD (25, 32 e 97) = 1 perché 97 è un numero primo;
- quando i numeri non hanno nessun divisore comune, escluso l'1
MCD (14, 16, 27) = 1 perché 14 = 2 x 7
16 = 2 x 2 x 2 x 2
27 = 3 x 3 x 3
non hanno un numero primo che faccia parte contemporaneamente delle tre
scomposizioni;
MCD (14, 16, 27) = 1 perché 14 = 2 x 7
16 = 2 x 2 x 2 x 2
27 = 3 x 3 x 3
non hanno un numero primo che faccia parte contemporaneamente delle tre
scomposizioni;
- quando sono numeri consecutivi (15 e 16 oppure 20118 e 20119)
MCD (24, 25) = 1 perché 24 = 2 x 2 x 2 x 3
25 = 5 x 5
non hanno nessun divisore in comune escluso l'1;
MCD (24, 25) = 1 perché 24 = 2 x 2 x 2 x 3
25 = 5 x 5
non hanno nessun divisore in comune escluso l'1;
- quando sono numeri consecutivi dispari (25 e 27 oppure 105 e 107)
MCD (33, 35) = 1 perché 33 = 3 x 11
35 = 5 x 7
non hanno nessun divisore in comune escluso l'1.
MCD (33, 35) = 1 perché 33 = 3 x 11
35 = 5 x 7
non hanno nessun divisore in comune escluso l'1.
È importante ricordare che il MCD:
- non è mai più grande della differenza dei due;
MCD (14, 16) = 2 16 - 14 = 2 la differenza è uguale al MCD;
MCD (14, 18) = 2 18 - 14 = 4 la differenza è maggiore del MCD;
- non è mai più grande del numero più piccolo presente;
- è uguale a 2 quando i numeri sono consecutivi pari (26 e 28, 154 e 156).
- non è mai più grande della differenza dei due;
MCD (14, 16) = 2 16 - 14 = 2 la differenza è uguale al MCD;
MCD (14, 18) = 2 18 - 14 = 4 la differenza è maggiore del MCD;
- non è mai più grande del numero più piccolo presente;
- è uguale a 2 quando i numeri sono consecutivi pari (26 e 28, 154 e 156).
Calcolare il MCD di due o più numeri con le scomposizioni in fattori primi
Il MCD si trova prendendo ogni fattore comune a tutti i numeri, preso una sola volta abbinando il più piccolo esponente presente.
Vediamo passo a passo come si opera:
|
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Calcolo del MCD tramite il metodo delle sottrazioni successive
Un altro metodo, sicuramente meno conosciuto, e che non richiede la conoscenza delle tabelline, è quello delle sottrazioni successive.
Per usare questo metodo si opera in questo modo:
- tolgo al più grande il più piccolo;
- escludo il più grande, tolgo il più piccolo al medio;
- continuo in questo modo fino a quando i due numeri più piccoli non sono uguali.
MCD (45, 18) =
|
Li sottraggo tra loro
Tolgo al medio il più piccolo Tolgo al medio il più piccolo |
45 - 18 = 27
27 - 18 = 9 18 - 9 = 9 |
Il medio è uguale al più piccolo, allora MCD (45, 18) = 9
MCD con l'algoritmo di Euclide
L'uso di questo metodo non richiede scomposizioni o conoscenze di divisibilità.
|
MCD (A, B) = Rispondo alla domanda:
Quante volte il più piccolo sta nel più grande? Uso poi il medio e il più piccolo e mi ripropongo la stessa domanda: quante volte il più piccolo sta nel più grande? Continuo fino a quando il resto non sarà uguale a 0. |
MCD (168, 63) =
168 = 63 (2) + 42 63 = 42 (1) + 21 42 = 21 (2) + 0 21 è il MCD |
Calcolo del MCD di due o più numeri utilizzando un'unica tabella
MCD (450, 660, 720) = 10 x 3 = 30
Scrivo i numeri iniziali |
450 |
660 |
720 |
Divisori comuni a tutti |
Divido tutti i numeri per 10 |
45 |
66 |
72 |
10 |
Divido tutti i numeri per 3 |
15 |
22 |
24 |
3 |
Riscrivo i numeri come prodotto di numeri primi |
3x5 |
2x11 |
2x2x2 |
Nessun fattore comune a tutti |
In rosso ho scritto i divisori comuni a tutti, pertanto il MCD = 10x3 = 30
Il minimo comune multiplo (mcm)
I multipli di un numero sono infiniti.
Il minimo comune multiplo rappresenta il più piccolo numero multiplo di due o più numeri comune a tutti quanti.
Non può essere mai più piccolo del più grande dei numeri presenti.
Il mcm sarà tanto più grande quanto piccola è la differenza tra i due numeri.
Il minimo comune multiplo rappresenta il più piccolo numero multiplo di due o più numeri comune a tutti quanti.
Non può essere mai più piccolo del più grande dei numeri presenti.
Il mcm sarà tanto più grande quanto piccola è la differenza tra i due numeri.
Il mcm di due numeri è uguale al prodotto dei numeri presenti quando:
- il più grande dei due è un numero primo,
mcm (16, 83) = 16 x 83 perché 83 è un numero primo;
- quando i numeri sono primi fra loro,
mcm (14, 25) = 14 x 25 perché i due numeri non hanno divisori in
comune;
- quando i numeri sono consecutivi (come tra 15 e 16, o tra 2008 e 2009),
mcm (22, 23) = 22 x 23;
- quando i numeri sono dispari consecutivi (come 23 e 25),
mcm (57, 59) = 57 x 59.
- il più grande dei due è un numero primo,
mcm (16, 83) = 16 x 83 perché 83 è un numero primo;
- quando i numeri sono primi fra loro,
mcm (14, 25) = 14 x 25 perché i due numeri non hanno divisori in
comune;
- quando i numeri sono consecutivi (come tra 15 e 16, o tra 2008 e 2009),
mcm (22, 23) = 22 x 23;
- quando i numeri sono dispari consecutivi (come 23 e 25),
mcm (57, 59) = 57 x 59.
Trovare il mcm di due o più numeri tramite la scomposizione in fattori primi
Per calcolare il mcm con questo metodo occorre:
- scomporre tutti i numeri in fattori primi
- prendere tutti i tipi di base presente, sia comune che non comune, ma solo una volta;
- abbinare a ciascuna base l'esponente più grande presente per quella base;
- risolvere le potenze e eseguire la moltiplicazione per conoscere il mcm.
Calcolo del mcm di due o più numeri con l'utilizzo di una tabella comune
Supponiamo di voler calcolare il mcm (450, 660, 720) =
Scrivo i numeri iniziali |
450 |
660 |
720 |
Divisori comuni a tutti |
Divisori non comuni a tutti |
Divido tutti i numeri per 10 |
45 |
66 |
72 |
10 |
- |
Divido tutti i numeri per 3 |
15 |
22 |
24 |
3 |
- |
Divido per 3 e se non si può lo riscrivo |
5 |
22 |
8 |
- |
3 |
Divido per 2 e se non si può lo riscrivo |
5 |
11 |
4 |
- |
2 |
I numeri sono primi fra loro e li scrivo nella colonna dei divisori |
- |
- |
- |
- |
5 x 11 x 4 |
mcm (450, 660, 720) = 10 x 3 x 3 x 2 x 5 x 11 x 4
Come avete potuto notare, nel calcolo del mcm ho messo tutti i divisori, sia quelli comuni a tutti (in rosso), quelli comuni a almeno due di loro (in verde) e quelli che non sono comuni a nessuno (in azzurro).
Naturalmente quando dico comuni a tutti o ad una parte di loro mi riferisco sempre non ai numeri originali ma a quelli che ottengo dopo averli divisi.
Naturalmente quando dico comuni a tutti o ad una parte di loro mi riferisco sempre non ai numeri originali ma a quelli che ottengo dopo averli divisi.
MCD e mcm in un'unica tabella
Se dobbiamo calcolare sia il MCD che il mcm di due o più numeri, il metodo visto sopra dell'unica tabella potrebbe venirvi in aiuto.
Importante:
- se moltiplico tutti i divisori che appartengono alla colonna dei
divisori comuni ottengo il MCD;
- se moltiplico tutti i divisori che appartengono a entrambe le colonne
(divisori comuni e divisori non comuni a tutti) ottengo il mcm.
Importante:
- se moltiplico tutti i divisori che appartengono alla colonna dei
divisori comuni ottengo il MCD;
- se moltiplico tutti i divisori che appartengono a entrambe le colonne
(divisori comuni e divisori non comuni a tutti) ottengo il mcm.