I SOTTOINSIEMI

Si parla di sottoinsieme quando gli elementi di un insieme sono interamente contenuti in un altro insieme.

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I sottoinsiemi propri

Si parla di sottoinsieme proprio quando gli elementi di un insieme A sono contenuti interamente in un altro insieme B, ma esiste almeno un elemento di B che non è anche elemento di A. 

Consideriamo i due insiemi:

A = {x|x è un numero pari minore di 9}

B = {x|x è un numero naturale minore di 9}

Elenchiamo gli elementi dei due insiemi:

A = {2; 4; 6; 8}

B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Rappresentiamoli graficamente

Come puoi notare l'insieme A è interamente contenuto nell'insieme B.

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Sottoinsieme improprio

Esistono due situazioni nelle quali si usa impropriamente il termine sottoinsieme:

• i due insiemi hanno gli stessi elementi → ogni insieme ha come sottoinsieme sé stesso
• uno dei due insiemi è vuoto → l'insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme

Gli elementi dei due insiemi coincidono

Consideriamo i due insiemi A e B:
A = {x|x è una lettera della parola "iena"}
B = {x|x è una lettera della parola "nenia"}
Rappresentiamo per elencazione i due insiemi: 
A = {i; e; n; a}
B = {n; e; i; a}
Rappresentiamo graficamente i due insiemi:

In questa particolare situazione possiamo dire che A è sottoinsieme improprio di B e che B è sottoinsieme improprio di A:
A≡B → A⊆B come B⊆A

Uno dei due insiemi è vuoto

Consideriamo i due insiemi A e B:
A = {x|x è un numero pari minore di 9}
B = {x|x è un numero pari che finisce con 1}
Rappresentiamo per elencazione i due insiemi: 
A = {2; 4; 6; 8}
B = {∅}
Rappresentiamo graficamente i due insiemi:

Diremo allora che
​B⊆A 
questo perché l'insieme vuoto (∅) è sottoinsieme di qualunque insieme, compreso un altro insieme vuoto.

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