Gli asintoti

Si chiamano asintoti quelle rette alle quali i punti della funzione si avvicinano sempre più, diminuendo sempre la distanza della curva dalla retta stessa.
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Non possono esistere contemporaneamente asintoti orizzontali e obliqui, se esiste l’uno non esiste l’altro e viceversa. ​

Asintoto verticale

Una funzione può avere da zero a infiniti asintoti verticali.

Si ha un asintoto verticale quando il limite a un valore finito da come risultato un valore infinito.

I valori finiti che possono essere asintoti verticali sono punti nei quali la funzione non è definita.

Le funzioni polinomiali, formate da un polinomio, non hanno asintoti verticali.

Le funzioni razionali, frazioni nelle quali l’incognita compare al denominatore, ridotte ai minimi termini, cioè semplificate, hanno come asintoti verticali i valori per i quali la funzione si annulla al denominatore (cioè quei valori che non rientrano nel dominio della funzione).

Le funzioni logaritmiche hanno come asintoto verticale x = 0, cioè l’asse y.

La funzione goniometrica tg x ha asintoti verticali nei punti x = π/2 +kπ, con k∈Z (ℤ sono i numeri interi, positivi e negativi).

Un asintoto verticale può essere bilatero, sinistro o destro. 

Asintoto verticale bilatero
La retta x=x₀ è asintoto sia nella parte a sinistra che nella parte a destra della retta.

Asintoto verticale sinistro
La retta x=x₀ è asintoto solo nella parte a sinistra, a destra la retta x=x₀ non è asintoto.

​Asintoto verticale destro
La retta x=x₀ è asintoto solo nella parte a destra, a sinistra la retta x=x₀ non è asintoto.

Esempio 1

Come primo esempio vi propongo una funzione fratta.

Il denominatore si annulla per x = ± 1.

Calcoliamo i limiti tendenti ai valori che annullano il denominatore. Se questi daranno ± infinito, saranno asintoti verticali.

x = 1  e   x = −1 sono asintoti verticali

Esempio 2

Funzione fratta entro una radice quadrata.

La funzione è fratta pertanto è possibile ci sia almeno un asintoto verticale.
Il denominatore si annulla per x = 5/3.
Calcoliamo il limite per x tendente a 5/3 della nostra funzione.

Poiché il limite ci ha dato infinito, x = 5/3 è asintoto verticale.

In questo caso specifico, la funzione esiste solo quando il radicando è positivo o uguale a zero, per cui tutti i valori compresi tra 5/3 e 3 non sono coperti dalla funzione in quanto essa risulta essere negativa. 
Ecco perché in questo caso x=5/3 è asintoto verticale sinistro e non destro.

Asintoto orizzontale

Si ha un asintoto orizzontale quando il limite di una funzione che tende a infinito da come risultato un valore finito.

Si possono avere al massimo due asintoti orizzontali.

La funzione può intersecare l’asintoto orizzontale in zero o più punti.

Se il dominio della funzione è limitato, allora la funzione non ha nessun asintoto orizzontale.

​Affinché possa esserci un asintoto orizzontale è necessario che il dominio della funzione sia:

• limitata inferiormente;
  
• limitata superiormente;
• limitata sia inferiormente che superiormente. 

Asintoto orizzontale bilatero
La retta y=n è asintoto sia nella parte a sinistra che nella parte a destra della retta.

Asintoto orizzontale sinistro
La retta y=n è asintoto solo nella parte a sinistra.
La funzione f(x) tende all’infinito:

• dall’alto → la funzione si avvicina all’asintoto superiormente
• dal basso → la funzione si avvicina all’asintoto inferiormente

Asintoto orizzontale destro
La retta y=n è asintoto solo nella parte a destra.
La funzione f(x) tende all’infinito:

• dall’alto → la funzione si avvicina all’asintoto superiormente
• dal basso → la funzione si avvicina all’asintoto inferiormente

Asintoto orizzontale sinistro diverso da quello destro
Abbiamo due rette y=n e y=n che sono entrambe asintoti orizzontali, uno nella parte sinistra e l’altro nella parte destra.   ​

Esempio 3

Vi propongo una funzione frazionaria nella quale il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore

Calcoliamo il limite per x tendente a infinito della funzione.

Poiché il limite ha dato come valore un numero finito, allora y = 0 è asintoto orizzontale.

​Esempio 4

Analizziamo una funzione frazionaria nella quale il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore.

Calcoliamo il limite per x tendente all'infinito della nostra funzione:

y = 1 è asintoto orizzontale

Asintoto obliquo

Una funzione può avere al massimo due asintoti obliqui.

Se esiste un asintoto orizzontale NON esiste un asintoto obliquo.

La funzione può intersecare l’asintoto obliquo in zero o più punti.

Le funzioni fratte ammettono un asintoto obliquo se il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore.

​Le funzioni irrazionali non fratte, quelle messe sotto una radice, ammettono un asintoto obliquo quando il grado dell’argomento della radice è lo stesso dell’indice della radice.

Asintoto obliquo bilatero
La retta y = mx + q è asintoto sia nella parte a sinistra che nella parte a destra della retta.

Asintoto obliquo sinistro
La retta y = mx + q è asintoto solo nella parte a sinistra.

Asintoto obliquo sinistro
La retta y = mx + q è asintoto solo nella parte a destra.

Asintoto obliquo sinistro diverso da quello destro
Abbiamo due rette: y = m₁x + q e y = m₂x + q, sono entrambe asintoti obliqui, uno nella parte sinistra e l’altro nella parte destra.

Esempio 5

Nella funzione che vi propongo il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore.

Per calcolare l'equazione dell'asintoto obliquo calcoliamo i seguenti limiti, grazie ai quali troviamo i valori del coefficiente angolare m e dell'intercetta q:

Pagina creata il 16 febbraio 2025