EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

Un'espressione di secondo grado rappresenta sempre una parabola. 

Risolvere un'equazione vuol dire trovare i punti di intersezione tra la curva che rappresenta l'espressione e l'asse delle x.

Risolvere una disequazione vuol dire trovare tutti i punti, della curva che rappresenta l'espressione, che:

• si trovano sopra l'asse delle x, hanno cioè come valore un numero positivo, sono cioè >0;
• si trovano sopra l'asse delle x e toccano l'asse delle x, hanno cioè un valore positivo e/o uguale a zero, sono cioè ≥0;
• si trovano sotto l'asse delle x, hanno cioè come valore un numero negativo, sono cioè <0;
• si trovano sotto l'asse delle x e toccano l'asse delle x, hanno cioè un valore negativo e/o uguale a zero, sono cioè ≤0.

≥ 0 è dato dall'unione (somma) delle soluzioni della stessa espressione > 0 e ​= 0

≤ 0 è dato dall'unione (somma) delle soluzioni della stessa espressione < 0 e ​= 0

∆ > 0

Possono essere espressioni:

• complete, ax² + bx + c (col ∆ > 0)
  4x² − 3x − 1
  −x² + 5x − 6 
• pure, b = 0, ax² + c con a e c discordi
  i valori che si ottengono sono opposti, hanno dunque la stessa distanza dallo zero, per cui la parabola ha come asse di simmetria l'asse y
  5x² – 4
  −9x² + 1
• spurie, c = 0, ax² + bx (tutte)
  uno dei due punti che tocca l'asse x ha valore zero 

Se a > 0 allora la parabola ha concavità rivolta verso l'alto (è un sorriso, ha le sue braccia verso le y positive).
La parte gialla indica le y positive, quella celeste indica le y negative.

I punti della parabola che toccano l'asse delle x sono x₁ e x₂.
I punti della parabola che hanno ordinate positive, parte gialla sopra l'asse delle x, si trovano o prima del numero x₁ o dopo il numero x₂.
I punti della parabola che hanno ordinate negative, parte azzurra sotto l'asse delle x, si trovano tra i punti x₁ e x₂.

Ecco tutte le equazioni e le disequazioni di questo caso particolare:

• ​ax² + bx + c = 0     in quali punti tocca l'asse delle x?
  x = x₁    V    x = x₂      nei punti x₁ e x₂
• ax² + bx + c > 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x?
  x < x₁    V    x > x₂      prima del punto x₁ e dopo il punto di x₂
• ax² + bx + c ≥ 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x e toccano l'asse delle x?
  x ≤ x₁    V    x ≥ x₂      prima del punto x₁ e dopo il punto x₂, con x₁ e x₂ compresi nella soluzione
• ax² + bx + c < 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x? 
  x₁ < x < x₂                   tra il punto x₁ e x₂
• ax² + bx + c ≤ 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x e toccano l'asse delle x?
  ​x₁ ≤ x ≤ x₂                   tra il punto x₁ e x₂, con x₁ e x₂ compresi nella soluzione

---

Se a < 0 allora la parabola ha concavità rivolta verso il basso (è una faccina triste sorriso, ha le sue braccia verso le y negative).
La parte gialla indica le y positive, quella celeste indica le y negative.

I punti della parabola che toccano l'asse delle x sono x₁ e x₂.
I punti della parabola che hanno ordinate positive, parte gialla sopra l'asse delle x, si trovano tra i punti x₁ e x₂.
I punti della parabola che hanno ordinate negative, parte azzurra sotto l'asse delle x, si trovano o prima del numero x₁ o dopo il numero x₂.

Ecco tutte le equazioni e le disequazioni di questo caso particolare:

• ​ax² + bx + c = 0     in quali punti tocca l'asse delle x?
  x = x₁    V    x = x₂      nei punti x₁ e x₂
• ax² + bx + c > 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x?
  x₁ < x < x₂                   tra il punto x₁ e x₂
• ax² + bx + c ≥ 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x e toccano l'asse delle x?
  x₁ ≤ x ≤ x₂                   tra il punto x₁ e x₂, con x₁ e x₂ compresi nella soluzione
• ax² + bx + c < 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x? 
  x < x₁    V    x > x₂      prima del punto x₁ e dopo il punto di x₂
• ax² + bx + c ≤ 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x e toccano l'asse delle x?
  ​x ≤ x₁    V    x ≥ x₂      prima del punto x₁ e dopo il punto x₂, con x₁ e x₂ compresi nella soluzione​

∆ = 0

Possono essere espressioni:

• complete, ax² + bx + c (col ∆ = 0) con a e c concordi
  sono lo sviluppo del quadrato di un binomio
  4x² − 4x + 1
  −x² − 6x − 9 
• monomie b = 0 e c = 0, ax² (tutte)
  ​15x²
  −2x²

Se a > 0 allora la parabola ha concavità rivolta verso l'alto (è un sorriso, ha le sue braccia verso le y positive).
La parte gialla indica le y positive, quella celeste indica le y negative.

L'unico punto della parabola che tocca l'asse delle x è il punto x₁.
I punti della parabola che hanno ordinate positive, parte gialla sopra l'asse delle x, si trovano prima del numero x₁ e dopo lo stesso numero x₁, dunque sempre tranne per il numero x₁ che si trova sull'asse delle x (che non è ne positivo ne negativo).
Non ci sono punti della parabola che hanno ordinate negative, parte azzurra sotto l'asse delle x.

Ecco tutte le equazioni e le disequazioni di questo caso particolare:

• ​ax² + bx + c = 0     in quali punti tocca l'asse delle x?
  x = x₁ = x₂               nel punto x₁
• ax² + bx + c > 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x?
  ∀x∈ℝ−{x₁}   oppure    x≠x₁
  tutta la parabola è interamente contenuta sopra l'asse delle x, fatta eccezione per il punto x₁ 
• ax² + bx + c ≥ 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x e toccano l'asse delle x?
  ∀x∈ℝ   oppure   ℝ
  tutti i punti della parabola si trovano dall'asse x compreso a tutta la parte superiore del piano cartesiano
• ax² + bx + c < 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x? 
  ∄x∈ℝ   oppure   S={∅}                   
  nessun punto della parabola si trova sotto l'asse delle x
• ax² + bx + c ≤ 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x e toccano l'asse delle x?
  ​x = x₁                   
  ​solo il punto x₁ ha questa caratteristica, non si trova sotto l'asse delle x ma è contenuto nell'asse

---

Se a < 0 allora la parabola ha concavità rivolta verso il basso (è una faccina triste sorriso, ha le sue braccia verso le y negative).
La parte gialla indica le y positive, quella celeste indica le y negative.

L'unico punto della parabola che tocca l'asse delle x è il punto x₁.
Non ci sono punti della parabola che hanno ordinate positive, parte gialla sopra l'asse delle x.
I punti della parabola che hanno ordinate negative, parte azzurra sotto l'asse delle x, si trovano prima del numero x₁ e dopo lo stesso numero x₁, dunque sempre tranne per il numero x₁ che si trova sull'asse delle x (che non è ne positivo ne negativo).

Ecco tutte le equazioni e le disequazioni di questo caso particolare:

• ​ax² + bx + c = 0     in quali punti tocca l'asse delle x?
  ​x = x₁ = x₂               nel punto x₁
• ax² + bx + c > 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x?
  ∄x∈ℝ   oppure   S={∅}                   
  nessun punto della parabola si trova sopra l'asse delle x
• ax² + bx + c ≥ 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x e toccano l'asse delle x?
  x = x₁                   
  ​solo il punto x₁ ha questa caratteristica, non si trova sopra l'asse delle x ma è contenuto nell'asse
• ax² + bx + c < 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x? 
  ∀x∈ℝ−{x₁}   oppure    x≠x₁
  tutta la parabola è interamente contenuta sotto l'asse delle x, fatta eccezione per il punto x₁
• ax² + bx + c ≤ 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x e toccano l'asse delle x?
  ​​∀x∈ℝ   oppure   ℝ
  tutti i punti della parabola si trovano dall'asse x compreso a tutta la parte inferiore del piano cartesiano

∆ < 0

Possono essere espressioni:

• complete, ax² + bx + c (col ∆ < 0) con a e c concordi
  2x² − x + 1
  −x² − 5x − 9 
• pure b = 0, ax² + bx + c con a e c concordi
  ​4x² + 3
  −2x² − 5

Se a > 0 allora la parabola ha concavità rivolta verso l'alto (è un sorriso, ha le sue braccia verso le y positive).
La parte gialla indica le y positive, quella celeste indica le y negative.

Nessun punto della parabola tocca l'asse delle x.
La parabola è interamente sopra l'asse delle x e hanno dunque ordinate positive. 
Nessun punto della parabola è presente al di sotto dell'asse delle x. 

Ecco tutte le equazioni e le disequazioni di questo caso particolare:

• ​ax² + bx + c = 0     in quali punti tocca l'asse delle x?
  ∄x∈ℝ   oppure   S={∅}     MAI, nessun punto tocca l'asse delle x
• ax² + bx + c > 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x?
  ∀x∈ℝ   oppure   ℝ     tutti i punti della parabola si trovano sopra l'asse delle x
  
• ax² + bx + c ≥ 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x e toccano l'asse delle x?
  ∀x∈ℝ   oppure   ℝ     tutti i punti della parabola si trovano sopra l'asse delle x
  
• ax² + bx + c < 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x? 
  ∄x∈ℝ   oppure   S={∅}     
  ​MAI, nessun punto si trova al di sotto dell'asse delle x
• ax² + bx + c ≤ 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x e toccano l'asse delle x?​
  ∄x∈ℝ   oppure   S={∅}     
  ​MAI, nessun punto si trova al di sotto dell'asse delle x né tocca l'asse delle x

---

Se a < 0 allora la parabola ha concavità rivolta verso il basso (è una faccina triste sorriso, ha le sue braccia verso le y negative).
La parte gialla indica le y positive, quella celeste indica le y negative.

Nessun punto della parabola tocca l'asse delle x.
​Nessun punto della parabola è presente al di sopra dell'asse delle x.
La parabola è interamente sotto l'asse delle x e hanno dunque ordinate negative.  

Ecco tutte le equazioni e le disequazioni di questo caso particolare:

• ​ax² + bx + c = 0     in quali punti tocca l'asse delle x?
  ∄x∈ℝ   oppure   S={∅}     MAI, nessun punto tocca l'asse delle x
• ax² + bx + c > 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x?
  ∄x∈ℝ   oppure   S={∅}     MAI, nessun punto si trova al di sopra dell'asse delle x
• ax² + bx + c ≥ 0     quali punti si trovano sopra l'asse delle x e toccano l'asse delle x?
  ∄x∈ℝ   oppure   S={∅}     
  ​MAI, nessun punto si trova al di sopra dell'asse delle x né tocca l'asse delle x
• ​ax² + bx + c < 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x? 
  ∀x∈ℝ   oppure   ℝ     tutti i punti della parabola si trovano sotto l'asse delle x
• ax² + bx + c ≤ 0     quali punti si trovano sotto l'asse delle x e toccano l'asse delle x?
  ​​∀x∈ℝ   oppure   ℝ     tutti i punti della parabola si trovano sotto l'asse delle x

Quali passi seguire per risolvere un'equazione o una disequazione di 2 grado

1. Riduci alla forma normale l'espressione fino ad ottenere: ​ax² + bx + c
2. Disegna la parabola
   - se ​a è positivo disegna una parabola con le braccia rivolte verso l'alto
   - se ​a è negativo disegna una parabola con le braccia rivolte verso il basso
3. Calcola il valore del delta: Δ = b² – 4ac
   - se il Δ è positivo, l'asse delle x toccherà la parabola in due punti, calcola il valore delle due x.
   Soluzione dell'equazione sono i valori così trovati;
   Soluzione delle disequazioni tutto ciò che sta prima e dopo i due numeri trovati o tutto ciò che è compreso tra i due numeri trovati.
   - se il Δ è negativo, l'asse delle x toccherà la parabola in un solo punto, il suo vertice (il punto più basso, se la a è positiva, o il punto più alto, se la a è negativa), calcola il valore della x.
   Soluzione dell'equazione è il valore così trovato.
   Soluzione delle disequazioni sarà tutti numeri, nessun numero, unito o meno al numero trovato nell'equazione.
   - se il Δ è negativo, l'asse delle x non tocca la parabola, che sarà interamente contenuta sopra l'asse delle x se la a è positiva, o sarà interamente contenuta sotto l'asse delle x se la a è negativa. 
   L'equazione non ha soluzione e verrà definita impossibile.
   Soluzione delle disequazioni sarà tutti i numeri o nessun numero.
4. Analizza il disegno e colora le parti della parabola che sono:
   - positive, sopra l'asse delle x, se la disequazione è > 0 oppure ≥ 0 
   - negative, sotto l'asse delle x, se la disequazione è < 0 oppure ≤ 0
5. aiutati con gli schemi sopra.

Contatore inserito il 23 agosto 2024