EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

Un'espressione di secondo grado rappresenta sempre una parabola. 

Risolvere un'equazione di secondo grado vuol dire trovare i punti di intersezione tra la curva che rappresenta l'espressione e l'asse delle x.

Risolvere una disequazione di secondo grado vuol dire trovare i punti della parabola che si trovano: 

• sopra l'asse delle x se ci chiede dov'è >0;
• sotto l'asse delle x se ci chiede dov'è <0.

≥ 0 è dato dall'unione (somma) delle soluzioni della stessa espressione > 0 e ​= 0

≤ 0 è dato dall'unione (somma) delle soluzioni della stessa espressione < 0 e ​= 0

∆ > 0 

Possono essere espressioni:

• le complete col ∆ > 0: ax² + bx + c 
  4x² − 3x − 1
  −x² + 5x − 6 
• le pure con a e c discordi: b = 0, ax² + c 
  i valori che si ottengono sono opposti, hanno dunque la stessa distanza dallo zero, per cui la parabola ha come asse di simmetria l'asse y
  5x² – 4
  −9x² + 1
• tutte le spurie, c = 0, ax² + bx 
  uno dei due punti che tocca l'asse x ha valore zero 

Caratteristiche generali della parabola
La parabola tocca l'asse delle x nei punti x₁ e x₂.

   

a > 0
ha la concavità rivolta verso l'alto.

a < 0
ha la concavità rivolta verso l'alto

Equazione/disequazione	Soluzioni per a > 0	Soluzioni per a < 0
​​ax² + bx + c = 0	x = x₁    V    x = x₂	​x = x₁    V    x = x₂
​ax² + bx + c > 0	x < x₁    V    x > x₂	x₁ < x < x₂
​ax² + bx + c ≥ 0	x ≤ x₁    V    x ≥ x₂	​​x₁ ≤ x ≤ x₂
​ax² + bx + c < 0	​x₁ < x < x₂	x < x₁    V    x > x₂
ax² + bx + c ≤ 0	​​x₁ ≤ x ≤ x₂	x ≤ x₁    V    x ≥ x₂

Significato delle soluzioni:

• x = x₁    V    x = x₂      nei punti x₁ e x₂
• x₁ < x < x₂                   tra il punto x₁ e x₂
• x₁ ≤ x ≤ x₂                   tra il punto x₁ e x₂, con x₁ e x₂ compresi nella soluzione
• x < x₁    V    x > x₂      prima del punto x₁ e dopo il punto di x₂
• ​x ≤ x₁    V    x ≥ x₂      prima del punto x₁ e dopo il punto x₂, con x₁ e x₂ compresi 

∆ = 0

Possono essere espressioni:

• le complete con a e c concordi e col ∆ = 0: ax² + bx + c 
  sono lo sviluppo del quadrato di un binomio
  4x² − 4x + 1
  −x² − 6x − 9 
• tutte le monomie b = 0 e c = 0: ax² 
  ​15x²
  −2x²

Caratteristiche della parabola
L'unico punto della parabola che tocca l'asse delle x è il punto x₁.

   

a > 0
concavità rivolta verso l'alto 

a < 0 
concavità rivolta verso il basso

Equazione/disequazione	Soluzioni per a > 0	Soluzioni per a < 0
​​ax² + bx + c = 0	x = x₁ = x₂	x = x₁ = x₂
​ax² + bx + c > 0	∀x∈ℝ−{x₁}   oppure    x ≠ x₁	∄x∈ℝ   oppure   S={∅}
​ax² + bx + c ≥ 0	∀x∈ℝ   oppure   ℝ	x = x₁
​ax² + bx + c < 0	​∄x∈ℝ   oppure   S={∅}	∀x∈ℝ−{x₁}   oppure    x ≠ x₁
ax² + bx + c ≤ 0	​​x = x₁	∀x∈ℝ   oppure   ℝ

Lettura delle soluzioni

• x = x₁ = x₂                                    nel punto x₁
• ∀x∈ℝ−{x₁}   oppure    x ≠ x₁       tutta la parabola tranne il punto x₁ 
• ∀x∈ℝ   oppure   ℝ                       tutta la parabola
  
• ∄x∈ℝ   oppure   S={∅}                nessun punto della parabola
• x = x₁                                            ​solo il punto x₁ 

∆ < 0

Possono essere espressioni:

• complete, ax² + bx + c (col ∆ < 0) con a e c concordi
  2x² − x + 1
  −x² − 5x − 9 
• pure b = 0, ax² + bx + c con a e c concordi
  ​4x² + 3
  −2x² − 5

Nessun punto della parabola tocca l'asse delle x.
La parabola è interamente sopra l'asse delle x e hanno dunque ordinate positive. 
Nessun punto della parabola è presente al di sotto dell'asse delle x. 

   

a > 0
concavità rivolta verso l'alto 

a < 0
concavità rivolta verso il basso 

Equazione/disequazione	Soluzioni per a > 0	Soluzioni per a < 0
ax² + bx + c = 0	​∄x∈ℝ   oppure   S={∅}	​​∄x∈ℝ   oppure   S={∅}
​ax² + bx + c > 0	∀x∈ℝ   oppure   ℝ	∄x∈ℝ   oppure   S={∅}
​ax² + bx + c ≥ 0	∀x∈ℝ   oppure   ℝ	∄x∈ℝ   oppure   S={∅}
ax² + bx + c < 0	∄x∈ℝ   oppure   S={∅}	∀x∈ℝ   oppure   ℝ
​ax² + bx + c ≤ 0	∄x∈ℝ   oppure   S={∅}	∀x∈ℝ   oppure   ℝ

Significato delle soluzioni:

• ​∄x∈ℝ   oppure   S={∅}     →      MAI, nessun punto tocca l'asse delle x
• ∀x∈ℝ   oppure   ℝ            →      tutti i punti della parabola si trovano o sopra o sotto l'asse delle x

Quali passi seguire per risolvere un'equazione o una disequazione di 2 grado

1. Riduci alla forma normale l'espressione fino ad ottenere: ​ax² + bx + c
2. Disegna la parabola
   - se ​a è positivo disegna una parabola con le braccia rivolte verso l'alto
   - se ​a è negativo disegna una parabola con le braccia rivolte verso il basso
3. Calcola il valore del delta: Δ = b² – 4ac
   - se il Δ è positivo, l'asse delle x toccherà la parabola in due punti, calcola il valore delle due x.
   Soluzione dell'equazione sono i valori così trovati;
   Soluzione delle disequazioni tutto ciò che sta prima e dopo i due numeri trovati o tutto ciò che è compreso tra i due numeri trovati.
   - se il Δ è negativo, l'asse delle x toccherà la parabola in un solo punto, il suo vertice (il punto più basso, se la a è positiva, o il punto più alto, se la a è negativa), calcola il valore della x.
   Soluzione dell'equazione è il valore così trovato.
   Soluzione delle disequazioni sarà tutti numeri, nessun numero, unito o meno al numero trovato nell'equazione.
   - se il Δ è negativo, l'asse delle x non tocca la parabola, che sarà interamente contenuta sopra l'asse delle x se la a è positiva, o sarà interamente contenuta sotto l'asse delle x se la a è negativa. 
   L'equazione non ha soluzione e verrà definita impossibile.
   Soluzione delle disequazioni sarà tutti i numeri o nessun numero.
4. Analizza il disegno e colora le parti della parabola che sono:
   - positive, sopra l'asse delle x, se la disequazione è > 0 oppure ≥ 0 
   - negative, sotto l'asse delle x, se la disequazione è < 0 oppure ≤ 0
5. aiutati con gli schemi sopra.

Contatore inserito il 23 agosto 2024