Le equazioni di II grado
Un'equazione si dice di II grado quando l'incognita col grado maggiore è al quadrato (elevato 2).
Risolvere un'equazione di II grado vuol dire trovare quei valori che sostituiti all'incognita rendono vera l'uguaglianza, il valore del I membro sia uguale al valore del II membro.
Sono esempi di equazioni di secondo grado:
Risolvere un'equazione di II grado vuol dire trovare quei valori che sostituiti all'incognita rendono vera l'uguaglianza, il valore del I membro sia uguale al valore del II membro.
Sono esempi di equazioni di secondo grado:
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5x² = 0
z² + z = 0 |
2x² - 9x + 1 = 0
x² - x - 6 = 0 |
3y² - 8 = 0
2t² + 11 = 0 |
In ciascuna delle sei equazioni, l'incognita col grado maggiore è sempre al quadrato. Questa è la condizione necessaria affinché possa definirsi un'equazione di II grado.
In linea generale, se noi abbiamo un'equazione, essa sarà di secondo grado quando potrà essere espressa in questa forma:
In linea generale, se noi abbiamo un'equazione, essa sarà di secondo grado quando potrà essere espressa in questa forma:
ax² + bx + c = 0
con a ≠ 0, in caso contrario l'equazione non sarebbe di secondo grado
con a ≠ 0, in caso contrario l'equazione non sarebbe di secondo grado
Classificazione delle equazioni di II grado
Un'equazione di II grado si dice:
- completa, quando sia il coefficiente della x che il termine noto sono diversi da zero;
- incompleta, quando o il coefficiente della x, o il termine noto o entrambi sono uguali a zero.
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EQUAZIONI COMPLETE
ax² + bx + c = 0
b ≠ 0 e c ≠ 0
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EQUAZIONI INCOMPLETE
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Risoluzione di un'equazione completa o incompleta di II grado
Risolvere un'equazione vuol dire trovare quei valori da sostituire all'incognita.
D'ora in poi useremo per comodità la sola incognita x.
Quasi tutte le equazioni di II grado sono scomponibili, pertanto se noi riusciamo a scomporre la nostra equazione di II abbiamo conseguentemente trovato i valori che la rendono vera.
I matematici hanno trovato una formula, che seppur complessa ad un primo sguardo, costituisce uno strumento meraviglioso che ci permette di trovare i valori che stiamo ricercando senza per forza scomporre.
D'ora in poi useremo per comodità la sola incognita x.
Quasi tutte le equazioni di II grado sono scomponibili, pertanto se noi riusciamo a scomporre la nostra equazione di II abbiamo conseguentemente trovato i valori che la rendono vera.
I matematici hanno trovato una formula, che seppur complessa ad un primo sguardo, costituisce uno strumento meraviglioso che ci permette di trovare i valori che stiamo ricercando senza per forza scomporre.
Ma prima di utilizzare una qualsiasi formula sarà necessario scrivere in forma normale la nostra equazione:
- risolvere eventuali parentesi;
- portare tutto al I membro e uguagliarlo a zero;
- semplificare mettendo insieme tutti i termini simili.
Il valore delle due x che annullano la mia equazione sono:
Per prima cosa occorre calcolare il delta attraverso la formula:
Δ = b² – 4ac
Possiamo trovare tre diversi casi:
Δ > 0 |
Δ = 0 |
Δ < 0 |
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Due valori distinti
Si tratta di un trinomio particolare |
Due valori coincidenti
Si tratta del quadrato di un binomio |
Non ci sono soluzioni
Non si può scomporre Nessun numero reale può far diventare zero la nostra equazione |
Per seconda cosa occorrerebbe sostituire il valore del delta nella seguente espressione:
Ricordiamo:
- la radice quadrata di un numero negativo, minore di zero, non è ammissibile nell'insieme dei numeri reali;
- la radice quadrata di un numero positivo ammette sempre due valori, opposti tra di loro, perché un numero al quadrato, positivo o negativo, dà sempre un valore positivo;
- la radice quadrata di zero è sempre uguale a zero, pertanto otteniamo un unico valore.
In pratica cosa devo fare?
- scrivo la formula per il calcolo del delta
- metto in evidenza i coefficienti a, b e c
- sostituisco nella formula del delta i valori di a, b e c
- se il delta è maggiore o uguale a zero calcolo i due valori della x.
Il valore di un'equazione incompleta
Ora vediamo che tipo di soluzioni abbiamo nei diversi tipi di equazione incomplete (tenendo conto che la formula sopra può essere sempre utilizzata).
Equazioni incomplete spurie
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Ammette due soluzioni distinte, di cui una uguale a zero e l'altra diversa da zero, qualunque sia il valore di b.
Vediamo ora di scomporre l'equazione per trovare il valore da poter dare all'incognita per ottenere l'uguaglianza a zero
oppure usando la formula generale
Come potete notare il valore delle due incognite è lo stesso, sia usando il metodo tra le scomposizioni sia usando la formula generale.
Equazioni incomplete pure
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Ammette due soluzioni opposte, solo se c è negativo, cioè minore di zero
Vediamo ora come può essere ottenuta la soluzione di questa equazione nei due modi
Contatore inserito il 23 aprile 2021