Le equazioni di II grado
Un'equazione si dice di II grado quando un'incognita compare con grado 2 (al quadrato).
Risolvere un'equazione di II grado vuol dire trovare quei numeri che sostituiti all'incognita fanno sì che il valore del primo membro sia uguale al valore del secondo membro.
Sono esempi di equazioni di secondo grado:
Risolvere un'equazione di II grado vuol dire trovare quei numeri che sostituiti all'incognita fanno sì che il valore del primo membro sia uguale al valore del secondo membro.
Sono esempi di equazioni di secondo grado:
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In ciascuna delle sei equazioni abbiamo sempre un'incognita al quadrato, elevato due. Questa è la condizione necessaria affinché possa definirsi un'equazione di II grado.
In linea generale, se noi abbiamo un'equazione, essa sarà di secondo grado quando in linea generale potrà essere espressa in questa forma:
In linea generale, se noi abbiamo un'equazione, essa sarà di secondo grado quando in linea generale potrà essere espressa in questa forma:
Classificazione delle equazioni di II grado
Un'equazione di II grado si dice:
- completa, quando sia il coefficiente della x che il termine noto sono diversi da zero;
- incompleta, quando o il coefficiente della x, o il termine noto o entrambi sono uguali a zero.
A loro volta le incomplete possono essere suddivise in: pure, spurie o monomie.
- completa, quando sia il coefficiente della x che il termine noto sono diversi da zero;
- incompleta, quando o il coefficiente della x, o il termine noto o entrambi sono uguali a zero.
A loro volta le incomplete possono essere suddivise in: pure, spurie o monomie.
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Equazione completa
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Equazioni incomplete |
spurie
pure
monomie
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Risoluzione di un'equazione completa o incompleta di II grado
Risolvere un'equazione vuol dire trovare quei valori da sostituire all'incognita, in questo caso la x, per ottenere l'uguaglianza scritta.
Che l'equazione sia completa o incompleta è possibile risolverle utilizzando uno stesso procedimento.
Per prima cosa occorre calcolare il delta attraverso la formula:
Che l'equazione sia completa o incompleta è possibile risolverle utilizzando uno stesso procedimento.
Per prima cosa occorre calcolare il delta attraverso la formula:
Possiamo trovare tre diversi casi:
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Per seconda cosa occorrerebbe sostituire il valore del delta nella seguente espressione:
Ricordiamo:
- la radice quadrata di un numero negativo, < zero, non è ammissibile nell'insieme dei numeri reali;
- la radice quadrata di un numero positivo ammette sempre due valori, opposti tra di loro, perché un numero al quadrato, sia esso positivo o negativo, dà sempre un valore positivo;
- la radice quadrata di zero è uguale a zero.
due soluzioni distinte
si trattava di un trinomio particolare |
due soluzioni coincidenti
si trattava del quadrato di un binomio |
non esistono soluzioni nell'ambito dell'insieme dei numeri reali
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In pratica cosa devo fare?
scrivo la formula per il calcolo del delta
metto in evidenza i coefficienti a, b e c
sostituisco nella formula del delta i valori di a, b e c
scrivo la formula per il calcolo del delta
metto in evidenza i coefficienti a, b e c
sostituisco nella formula del delta i valori di a, b e c
Il valore di un'equazione incompleta
Ora vediamo che tipo di soluzioni abbiamo nei diversi tipi di equazione incomplete (tenendo conto che la formula sopra può essere sempre utilizzata).
Equazioni incomplete spurie
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Ammette due soluzioni distinte, di cui una uguale a zero e l'altra diversa da zero, qualunque sia il valore di b.
Vediamo ora di scomporre l'equazione per trovare il valore da poter dare all'incognita per ottenere l'uguaglianza a zero
oppure usando la formula generale
Come potete notare il valore delle due incognite è lo stesso, sia usando il metodo tra le scomposizioni sia usando la formula generale.
Equazioni incomplete pure
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Ammette due soluzioni opposte, solo se c è negativo, cioè minore di zero
Vediamo ora come può essere ottenuta la soluzione di questa equazione nei due modi
