I NUMERI NATURALI

I numeri naturali sono numeri interi e sempre positivi (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...).

L'insieme dei numeri naturali è discreto perché tra un numero e il suo precedente o il suo successivo non ce ne sono altri.
L'insieme dei numeri naturali è infinito perché quando pensiamo ad un numero molto grande, immediatamente possiamo pensare al suo successivo.

Numeri pari: finiscono con 0, 2, 4, 6 oppure 8.
Numeri dispari: finiscono con 1, 3, 5, 7 oppure 9.

Si dice precedente quel numero che viene immediatamente prima di un altro: il precedente di 5 è 4.
Dato un numero n il suo precedente è n – 1.

Si dice successivo quel numero che viene immediatamente dopo un altro: il successivo di 7 è 8.
Dato un numero n il suo successivo è n + 1.

Si dice che un numero è maggiore di un altro, quando, rispetto alla sua posizione nella retta orientata, si trova più a destra. Si può dire che un numero naturale è maggiore di un altro quando è più numeroso.

Si dice che un numero è minore di un altro, quando, rispetto alla sua posizione nella retta orientata, si trova più a sinistra. Si può dire che un numero naturale è minore di un altro quando è meno numeroso.

Si dice che un numero è compreso tra due numeri quando la sua posizione è intermedia tra i numeri che sto considerando.

L'OPERAZIONE DI ADDIZIONE

Caratteristiche

Fare un’addizione vuol dire aggiungere, mettere insieme, delle quantità.
Le quantità messe assieme prendono il nome di addendi mentre la quantità risultante dall'addizione prende il nome di somma o totale.

Il numero zero è l'elemento neutro dell'addizione.

15 + 0 + 23 = 15 + 23 = 38

Se sommiamo due numeri naturali (cioè interi) otteniamo sempre un numero naturale:
tutte le addizioni sono possibili (nell’insieme dei numeri naturali).  

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Numeri pari e numeri dispari nell'addizione

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Proprietà dell'addizione

Le proprietà sono delle azioni che posso compiere agli addendi e che non modificano il risultato finale, cioè la somma.

Proprietà commutativa
Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia
12 + 8 = 8 + 12

Proprietà associativa
Se in un addizione composta da tre o più addendi, sommo tra loro una parte di essi e a questa aggiungo gli addendi rimanenti, il totale non cambia.
​15 + 18 + 5 = 20 + 18

Proprietà dissociativa
Se in un'addizione sostituisco ad un addendo, altri due o più o più addendi la cui somma è uguale all'addendo sostituito, il totale non cambia.
48 + 17 = 48 + 2 + 15

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L'addizione nei problemi

Rispondo alle domande
Quanto/i … in tutto?
Di quanto dispone …?
Quanti … in totale?
Quanti … complessivamente?
A quanto ammonta …?

Quali azioni compio?
Metto insieme
Aggiungo
Unisco
Calcolo la somma
Aumento di una quantità data
Scopro il totale

L'OPERAZIONE DI SOTTRAZIONE

La sottrazione è l'operazione aritmetica che associa a due numeri, detti minuendo e sottraendo, un terzo numero detto ​​differenza. 

Sulla retta orientata, la differenza può essere rappresentata dalla distanza tra le due quantità.

16 – 4 = 12 

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Lo zero nella sottrazione

Se il sottraendo è uguale a zero, la differenza è uguale al minuendo

22 – 0 = 22

Se il minuendo è uguale a 0, la differenza non esiste nell'insieme dei numeri naturali, esiste invece nell'insieme dei numeri relativi dove è uguale al sottraendo cambiato di segno.

0 – 31 = – 31

Da quanto appena detto: lo zero non è l'elemento neutro nella sottrazione.

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Numeri pari e numeri dispari nella sottrazione

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Proprietà della sottrazione

Proprietà invariantiva (invariare = che non cambia)

Addizionando o sottraendo (aggiungendo o togliendo) una stessa quantità (lo stesso numero) sia al minuendo ​che al sottraendo la differenza non cambia.

24 – 17 = 
= (24 + 3) – (17 + 3) =
= 27 – 20 = 7 

41 – 13 = 
= (41 ​​– 3) – (13 – 3) =
= 38 – 10 = 28 

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La sottrazione nei problemi

Rispondo alle domande
Qual è la differenza…?
Qual è il resto …?
Quanti in più …?
Quanti non …?
Quanti … in meno?
Quanto rimane …?
Quanti rimangono …?
Quanti mancano …?
Quanto resta …?

Quali azioni devo compiere?
Faccio un confronto
Scopro quanto manca
Scopro la differenza
Tolgo
Sottraggo
Scopro il resto

L' OPERAZIONE DI MOLTIPLICAZIONE E LE SUE CARATTERISTICHE

La moltiplicazione è figlia dell’addizione, in quanto si tratta di un’addizione particolare, nella quale la prima quantità è ripetuta tante volte quanto indica la seconda quantità. 
Fare una moltiplicazione vuol dire, dunque, ripetere una stessa quantità un certo numero di volte e considerarne la quantità totale ottenuta, il prodotto.

Sulla retta dei numeri:

• primo fattore → la lunghezza del salto
• secondo fattore → la quantità dei salti
• il prodotto → il punto di arrivo dell’ultimo salto

In "matematichese" viene così spiegata: "La moltiplicazione è l’operazione che consente di associare a due numeri, chiamati ​fattori, un terzo numero, chiamato prodotto, al quale si perviene addizionando tanti addendi uguali al primo numero quante sono le unità del secondo e così via".

L'operazione di addizione si dice interna all'insieme dei numeri naturali, ciò vuol dire che se tutti i fattori sono numeri naturali (interi e positivi) il prodotto sarà sempre un numero naturale.

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L'1 e lo zero nella moltiplicazione

Se uno dei fattori è 1 il prodotto finale è uguale al prodotto di tutti gli altri fattori diversi da 1.
Il numero 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione.
Elemento neutro: la sua presenza o la sua assenza non influenza il risultato finale.

2 × 9 × 1 × 5 = 2 × 9 × 5

Se uno dei fattori è zero il prodotto finale è uguale a zero.
Lo zero è l’elemento assorbente della moltiplicazione.

85 × 46 × 0 × 67 × 4 = 0

Se moltiplichiamo due numeri naturali otteniamo sempre un numero naturale:
tutte le moltiplicazioni sono possibili (nell’insieme dei numeri naturali). 
Elemento assorbente: la sua presenza rende zero il risultato finale.

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Numeri pari e numeri dispari nella moltiplicazione

Che risultato otteniamo se moltiplichiamo un numero pari ad un numero dispari o quale altra combinazione?

In una moltiplicazione composta da più fattori:

• ottieni un numero dispari se tutti i fattori sono dispari;
• ottieni un numero pari se anche solo uno dei fattori è pari.

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Moltiplicare un numero per 10, 100, 1000

Quando moltiplico un numero per 10 ciascuna cifra aumenta il proprio valore di un ordine di grandezza: le centinaia diventano migliaia, le decine diventano centinaia, le unità diventano decine, i decimi diventano unità, ...

Quando moltiplico un numero per 100 ciascuna cifra aumenta il proprio valore di due ordini di grandezza.

Da qui la regola:
quando moltiplico un numero per 10, 100, 1000, 10000, ... ciascuna cifra del primo fattore aumenta il proprio valore di tanti ordini di grandezza quanti sono gli zeri presenti nel secondo fattore.

Moltiplicare un numero naturale (intero) per 10, 100, 1000, …

1. Si riscrive tutto il fattore diverso da 10, 100, 1000, ... 
2. si aggiungono alla sua destra tanti zeri quanti gli zeri nell'altro 
   ​fattore.

Moltiplicare un numero decimale per 10, 100, 1000, …

1. Riscrivo il numero decimale aggiungendo alla destra tanti zeri inutili quanti sono quelli presenti nel secondo numero
2. Sposta la virgola verso destra (→) di tante posizioni quanti sono gli zeri nell'altro fattore.
3. Cancello gli zeri inutili

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LE PROPRIETÀ DELLA MOLTIPLICAZIONE

Le proprietà sono modifiche che posso apportare ai fattori ma che non cambiano il risultato finale.
In questo modo le proprietà diventano degli strumenti che possono semplificare i calcoli e permettere così di fare a mente operazioni che diversamente avremmo dovuto risolverle in colonna o con altri metodi.
​Vediamole un pochino. ​

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Proprietà commutativa (commutare = cambiare la posizione)

Cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia.
Cambio l'ordine dei termini della moltiplicazione.
​Il numero dei fattori rimane uguale. 

 

 

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Proprietà associativa (associare = mettere insieme)

Il prodotto di tre o più fattori non cambia ​​se a questi si sostituisce il prodotto di due o più di loro.
Riscrivo un fattore con un'altra moltiplicazione.
​Il numero dei fattori aumenta.

 

 

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Proprietà distributiva (distribuire = dare agli altri)

Proprietà distributiva rispetto all'addizione

Il prodotto tra un numero ed un’addizione non cambia se, anziché moltiplicare il numero per la somma, moltiplichi il numero per ciascun termine dell’addizione e poi addizioni i risultati ottenuti.

Riscrivo un fattore come un'addizione dentro una parentesi.

 

 

Moltiplico il fattore non scomposto per ciascun addendo:

​ 
​

Eseguo l'addizione

 

Clicca sul link sotto per comprendere meglio questa proprietà.
https://apps.mathlearningcenter.org/partial-product-finder/

Proprietà distributiva rispetto alla sottrazione

Il prodotto un numero ed una sottrazione non cambia se, anziché moltiplicare il numero per la differenza, moltiplichi il numero per ciascun termine della sottrazione e poi sottrai i dei due prodotti.

Riscrivo un fattore come una sottrazione dentro una parentesi.

 

 

Moltiplico il fattore non scomposto per ciascun termine della sottrazione:

 

  

Eseguo la sottrazione

  

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La moltiplicazione nei problemi

Uso una moltiplicazione se rispondo alle domande:
Quanto in tutto?
Quanto in totale?
Quanti complessivamente?

Nel problema trovo termini come:
​Ogni …
Ciascuno …
Ognuno …

L'OPERAZIONE DI DIVISIONE E LE SUE PROPRIETÀ

La divisione è l’operazione che, dati due numeri qualsiasi in un dato ordine, detti dividendo e divisore, ne associa un terzo, detto quoto* o quoziente* (risultato in N e Q), ottenuto raggruppando il dividendo in tante parti quante ne richiede il divisore oppure contando quante parti si possono ottenere, composte da tante unità quante ne indica il divisore.

QUOTO → il risultato di una divisione esatta, una divisione che non dà resto
QUOZIENTE → il risultato di una qualsiasi divisione

Fare una divisione vuol dire, dunque, separare una certa quantità (dividendo) in gruppi tutti composti allo stesso modo e quindi formati da un’altra quantità (divisore).
​Il risultato della divisione (quoziente) è la quantità dei gruppi che ho formato.  
Sulla retta dei numeri:
-il dividendo → la quantità dalla quale si parte
-il divisore → la lunghezza di ciascun salto
-il quoziente → la quantità totale dei salti

Il risultato della divisione risponde alla domanda:
quante volte il divisore è contenuto nel dividendo?
Se ci riferiamo all’esempio: quante volte il 3 è contenuto nel 15? 5 volte

La divisione esatta (quella che non dà resto) è l’operazione inversa della moltiplicazione tra numeri naturali.
Sono definite divisioni approssimate quelle che danno un resto, cioè il cui quoziente non è un numero naturale ma un numero decimale.

👉

Attenzione:
​il resto della divisione deve essere sempre minore del divisore.

Se dividiamo tra loro due numeri naturali NON otteniamo sempre un numero naturale:
NON tutte le divisioni sono possibili (il risultato di una divisione è spesso un numero decimale) e per questo si dice che la divisione non è interna all'insieme dei numeri naturali.

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Lo zero e l'1 nella divisione

Nessun numero può essere diviso per zero.
Chiedersi quante volte lo zero è contenuto in una qualunque quantità non ha significato.

15  :  0  =  impossibile
0  :  0  =  indeterminata

Ma se lo zero occupa la posizione del dividendo e il divisore è diverso da zero, il risultato è zero.

0  :  15  =  0

Il numero uno è elemento neutro nella divisione solo se occupa la posizione del divisore: qualunque numero diviso 1 da come risultato il numero stesso

13 : 1 = 13

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Numeri pari e numeri dispari nella divisione

In una divisione esatta:

• un numero pari diviso un numero pari darà come risultato o un numero pari, 12 : 2 = 6, o un numero dispari, 12 : 4 = 3;
• un numero pari diviso un numero dispari darà sempre un numero pari;
• un numero dispari diviso un numero dispari darà sempre un numero dispari.

Questo tipo di informazione è davvero importante perché ci permette di avere un controllo maggiore sull'esattezza del risultato dell'operazione che sto eseguendo.

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Dividere un numero naturale o decimale per 10, 100, 1000

Quando divido un numero per 10 ciascuna cifra diminuisce il proprio valore di un ordine di grandezza: le centinaia diventano decine, le decine diventano unità, le unità diventano decimi, i decimi diventano centesimi, ...

Quando divido un numero per 100 ciascuna cifra diminuisce il proprio valore di due ordini di grandezza: le centinaia diventano unità, le decine diventano decimi, le unità diventano centesimi, i decimi diventano millessimi, ...

Supponiamo di voler svolgere la seguente  divisione:

• Scrivi tanti zeri quanti quelli presenti nel secondo fattore,
• scrivi a fianco agli zeri il primo fattore,
• sposta la virgola (o l’ipotetica virgola messa sulla destra delle unità) di tanti posti verso sinistra quanti sono gli zeri del secondo fattore,
• cancella gli eventuali zeri inutili.

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LE PROPRIETÀ DELLA DIVISIONE

Proprietà invariantiva

Invariare = che non cambia

Se moltiplico o divido per una stessa quantità
sia al dividendo che il divisore il quoziente non cambia.

 

 

Grazie a questa proprietà è possibile trasformare una divisione in un'altra più semplice, dividendo tante volte, e talvolta moltiplicando, per una stessa quantità, entrambi i termini della divisione. 

Vediamo alcuni esempi di come è possibile semplificare una divisione apparentemente complicata.

• Dividere un numero per 5
  quando vuoi dividere un numero per 5, rendi più semplice la divisione moltiplicando per 2 sia il dividendo che il divisore:
  284 : 5 = (284 × 2) : (5 × 2) = 568 : 10 = 56,8
  in questo modo il divisore diventa 10 e la divisione è diventata molto più facile.
  

Proprietà distributiva rispetto all'addizione

Distribuire = dare agli altri

Il quoziente di una divisione, il cui dividendo può essere scritto come una somma, può essere calcolato facendo la somma tra il quoziente del primo addendo per il divisore e il quoziente del secondo addendo per lo stesso divisore.

Riscrivo il dividendo come un’addizione

Divido entrami i termini dell’addizione per il divisore

Eseguo l'addizione

 

Proprietà distributiva rispetto alla sottrazione

Il quoziente di una divisione, il cui dividendo può essere scritto come una differenza, può essere calcolato facendo la differenza tra il quoziente del minuendo e il divisore e il sottraendo per lo stesso divisore.

Riscrivo il dividendo come una sottrazione

 

  

Divido sia il minuendo che il sottraendo per il divisore

​Eseguo la sottrazione

  

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La divisione nei problemi

Uso una divisione se rispondo alle domande:
Quanto … ciascuno?
Quanto … ognuno?
Quanti … ogni …?
Quanti mazzi/vassoi/sacchetti/… può formare?

Le azioni che devo compiere:
distribuire in parti uguali

Nel problema trovo termini come:
… in tutto/totale …
… complessivamente …

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Un pochino di operazioni e di espressioni

Clicca qui per avere delle operazioni e delle espressioni con i numeri naturali. 
Il tutto è stato preso dal sito Progetto Matematika - www.matematika.it

Pagina creata il 15 giugno 2025